강인한 기하학적 추론을 위한 수렴 속도 분석

이 논문은 토폴로지 데이터 분석(TDA)에서 널리 활용되는 “거리‑측도”(DTM)를 경험적 표본을 통해 근사한 “거리‑경험적 측도”(DTEM)의 수렴 특성을 정밀하게 연구한다. 기존의 거리‑측도는 확률 측도 P와 매개변수 m, r에 대해 d_{P,m,r}(x)=\bigl(\frac1m\int_0^m δ_{P,u}^r(x)du\bigr)^{1/r} 로 정의되며, 이는 P의 지원 집합에 대한 전통적인 거리 함수보다 이상치에 강인한 특성을 가진다. 실제 데이터에서는 P를 직접 알 수 없으므로, 표본 X₁,…,Xₙ을 이용해 경험적 측도 Pₙ을 대입한 DTEM을 사용한다. 연구의 핵심은 DTEM과 DTM 사이의 차이 Δ_{n,m,r}(x)=d_{P_n,m,r}(x)-d_{P,m,r}(x) 를 어떻게 제어할 것인가이다. 저자는 DTM이 실제 거리 대신 거리 제곱(또는 r제곱)값들의 푸시포워드 분포의 분위수 함수 F^{-1}_{x,r}에만 의존한다는 사실을 이용한다. 구체적으로 d_{P,m,r}(x)=\bigl(\frac1m\int_0^m F^{-1}_{x,r}(u)du\bigr)^{1/r} 이며, 경험적 버전은 동일한 형태에 경험적 분위수 F^{-1}_{x,r,n}을 삽입한다. 따라서 Δ_{n,m,r}(x) 은 두 분위수 함수의 적분 차이로 표현된다. 이 적분 차이를 분석하기 위해 저자는 “연속성 모듈러스” ˜ωₓ(v)=\sup_{|u-u'|≤v}|F^{-1}_{x,r}(u)-F^{-1}_{x,r}(u')| 를 정의하고, 이를 상한 함수 ωₓ(v) 로 포장한다. ωₓ는 비감소·연속이며, 필요에 따라 볼록함수로 선택한다. 주요 이론적 결과는 두 부분으로 나뉜다. 첫 번째는 확률적 편차 상한이다. λ>0에 대해, k_n < n/2 인 경우 P(|Δ_{n,k_n}(x)|≥λ) ≤ exp\{-c₁ k_n λ² /