조화진동자와 모스 퍼텐셜의 유리 확장에 대한 프리포텐셜 방법

이 논문은 최근 수학 물리학에서 큰 관심을 받고 있는 ‘예외적 다항식(Exceptional orthogonal polynomials, Xℓ)’과 그에 대응하는 양자 시스템의 유리 확장을, 초대칭(SUSY), 형상 불변성(shape invariance), 다루비‑크럼(Darboux‑Crum) 혹은 다루비‑백룽(Darboux‑Bäcklund) 변환 없이도 체계적으로 구축하는 ‘프리포텐셜(prepotential) 접근법’을 제시한다. 1. **프리포텐셜 접근법의 기본 구조** - 파동함수 φ(x)를 φ(x)=e^{W(x)} 로 정의하고, W(x)=W₀(x)−ln ξ(η)+ln p(η) 로 분해한다. 여기서 η(x)는 ‘사인형 좌표’라 부르는, \dot η²가 η에 대해 1차 혹은 2차 다항식 형태인 함수이며, 물리적 구간에서 정의된다. - ξ(η)는 물리 구간에 영점이 없는 다항식(변형 함수)이며, p(η)는 경우에 따라 상수 혹은 비정상화된 파동함수를 보정하는 다항식이다. - W₀(x)와 ξ(η)만으로 Schrödinger 연산자 H=−d²/dx²+V(x)와 V(x)=\dot W₀²+¨W₀+… 를 완전히 결정한다. 2. **ξ(η)의 결정** - ξ는 2차 미분 방정식 c₂(η)ξ''+c₁(η)ξ'+Ē(η)ξ=0 을 만족한다. 여기서 c₂(η)=±\dot η², c₁(η)=±