양자화된 솔리톤 영역의 비선형 적분 방정식 표현

이 논문은 히로타 직접법을 기반으로 비선형 적분가능 진화 방정식들을 양자역학적 연산자 체계 위에 재구성한다. 먼저 KdV 방정식 u_t=6uu_x+u_{xxx}를 히로타 변환 u=2∂_x^2 ln f(t,x) 로 표현하고, f(t,x)는 평면파 φ_k(t,x)=e^{2kx+v_k t}와 두 입자 결합 계수 V(k_i,k_j)들의 조합으로 전개된다. 여기서 V(k_i,k_j)=((k_i−k_j)/(k_i+k_j))^2 ≤1이라는 성질을 이용해, 연산자 F(t,x) = 1 + ∫ φ_k N_k dk + ∑_{n≥2} (1/n!) ∫…V(k_{i_1},k_{i_2})… N_{k_{i_1}}…N_{k_{i_n}} dk_{i_1}…dk_{i_n} 를 정의한다. N_k는 수량 연산자이며, a_k†, a_k는 각각 보손(또는 페르미온) 생성·소멸 연산자이다. 연산자 F는 대각 연산자이므로, 임의의 유한 입자 상태 |q_1,…,q_N⟩에 대해 ⟨…|F|…⟩는 고전적 f와 동일한 형태를 갖는다. 예를 들어, 단일 입자 상태 |q⟩에서는 ⟨q|F|q⟩ = 1 + φ_q, 두 입자 상태 |q_1,q_2⟩에서는 ⟨…|F|…⟩ = 1 + φ_{q_1}+φ_{q_2}+φ_{q_1}φ_{q_2}V(q_1,q_2) 등으로, 이는 히로타식 다중 솔리톤 해와 정확히 일치한다. 그 다음, 연산자 U(t,x)=2∂_x^2 ln F(t,x) 를 정의하면, U는 원래의 비선형 방정식(예: KdV)을 연산자 형태로 만족한다. 즉, U_t = 6 U U_x + U_{xxx} 가 모든 유한 입자 상태에 대해 성립한다. 따라서 N‑솔리톤 해는 ⟨q_1,…,q_N|U|q_1,…,q_N⟩ 로 얻어진다. 이 구조는 KdV 외에도 Sawada‑Kotera 방정식, mKdV 방정식, 양방향 KdV 방정식 등에 그대로 적용된다. 각 방정식마다 φ_k와 V(k,k′)의 정의가 달라지지만, 연산자 F와 U의 형식은 변하지 않는다. mKdV의 경우 두 개의 함수 f와 g가 필요하므로, 연산자 F와 G를 각각 정의하고 U = 2∂_x (G/F) 로 표현한다. 양방향 KdV에서는 파동 번호와 전파 방향 σ=±1 두 개의 양자수를 갖는 입자를 도입해 V(k,σ;k′,σ′)를 정의한다. 특수 다항식(special polynomials)도 연산자 형태로 재구성된다. 예를 들어, R_{3,1}=u_x+q_1 u 를 연산자 R_{3,1}