일반화 사인‑갓동 방정식 ν 1 해법과 솔리톤 구조

논문은 일반화 사인‑갓동 방정식 uₜₓ=(1+∂ₓ²)sin u (ν=1)을 대상으로, 이전 연구(I)에서 ν=−1에 대해 개발한 직접 해법을 확장한다. 서론에서는 ν=−1 경우에 비해 ν=1이 아직 역산법에 의해 해가 알려지지 않았으며, 새로운 해 구조를 탐구할 필요성을 강조한다. 2절에서는 해법의 전체 흐름을 제시한다. 먼저 r²=1−uₓ² 를 정의해 보존법칙 rₜ−(r cos u)ₓ=0 을 얻고, 이를 기반으로 dy=r dx+r cos u dt, dτ=dt 라는 호도그래프 변환을 도입한다. 변환 후에는 ∂ₓ=r∂_y, ∂ₜ=∂_τ+r cos u∂_y 로 바꾸어 두 개의 비선형 방정식 u_{τy}+u_y²=sin u 와 φ_{τy}−φ_τ²=sinh φ 로 축소한다. 여기서 φ는 u_y= sinh φ 로 정의된다. 다음으로, 사인‑갓동 방정식 σ_{τy}=sin σ 의 해를 이용해 이중선형화한다. σ와 σ′를 각각 2i ln (f′/f), 2i ln (g′/g) 로 표현하고, Hirota의 D-연산자를 사용해 (2.15)‑(2.16) 형태의 이중선형 방정식을 만든다. 이후 조건 F′F=G′G 를 두고 F=f g, F′=f′ g′, G=f g′, G′=f′ g 로 정의하면 원래 비선형 시스템이 (2.20)‑(2.21) 이중선형 방정식으로 변환된다. 이때 f, f′, g, g′는 (2.22)‑(2.23)도 동시에 만족해야 하며, 이는 τ‑함수의 교차 항 γ_{jk}=½