리엔아드 방정식의 비최대 대칭을 통한 적분가능성 전면 분석

본 연구는 리엔아드 형태의 2차 상미분방정식 \(\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0\) 에 대해 Lie 점대칭을 체계적으로 분류하고, 특히 비최대(1∼3 차원) 대칭을 갖는 경우에 초점을 맞춘 두 부분 시리즈 중 첫 번째 파트이다. 논문은 다음과 같은 흐름으로 전개된다. **1. 서론**에서는 리엔아드 방정식이 물리·공학 분야에서 감쇠 진동, 전자 회로, 생물학적 모델링 등 다양한 현상을 기술하는 기본 방정식임을 강조한다. 기존 연구에서는 주로 특정 형태의 \(f(x),g(x)\) 에 대해 해석적 해를 구하거나, 선형화 조건을 탐구했지만, 전반적인 대칭 분류는 부족했다는 점을 지적한다. 따라서 Lie 대칭 이론을 활용해 전 범위의 함수쌍 \((f,g)\) 에 대해 대칭군을 규명하고, 그에 따른 적분가능성을 검증하고자 한다. **2. 이론적 배경**에서는 Lie 점대칭의 기본 원리와 결정 방정식(determining equations)의 도출 과정을 상세히 설명한다. 일반적인 점대칭 연산자 \(X=\xi(t,x)\partial_t+\eta(t,x)\partial_x\) 를 도입하고, 2차 방정식에 대한 연장된 대칭조건 \(\text{pr}^{(2)}X