재시도 슈퍼마켓 모델의 전파 혼돈 분석

1. 서론 및 연구 배경 재시도 큐는 전화 교환, 무선 네트워크, 컴퓨터 시스템 등에서 광범위하게 사용되며, 기존 연구는 주로 단일 혹은 소수의 재시도 큐에 초점을 맞추었다. 반면, 대규모 서버 풀에서 재시도 고객이 어떻게 동적으로 배분되는지는 아직 충분히 탐구되지 않았다. 저자는 이러한 공백을 메우기 위해 ‘재시도 슈퍼마켓 모델’을 제안한다. 이 모델은 N개의 동일 서버와 각 서버에 연결된 무한 크기의 오비트(재시도 대기열)로 구성된다. 기본 도착 고객과 재시도 고객은 각각 d₁, d₂개의 서버를 무작위로 선택하고, 선택된 서버 중 여유가 있으면 가장 적은 오비트 고객을 가진 서버에 즉시 할당한다. 모두 바쁠 경우에는 해당 서버의 오비트에 들어가 재시도를 기다린다. 2. 모델 정의 - 도착 과정: 전체 도착률 Nλ의 포아송 프로세스. - 서비스 과정: 각 서버는 지수 서비스 시간(률 μ). - 재시도 과정: 오비트에 있는 고객은 지수 재시도 시간(률 θ) 후 다시 d₂개의 서버를 선택한다. - 선택 메커니즘: d₁≥1, d₂≥1이며, 선택은 독립적이고 균등하게 이루어진다. - 안정성 조건: ρ=λ/μ<1이면 시스템은 안정한다(Lemma 1). 3. 무한 차원 마코프 과정 및 기대 분수 벡터 각 서버 j에 대해 ‘바쁜 서버 중 k명 이상의 고객을 가진 비율’ U_W,k^{(N)}(t)와 ‘유휴 서버 중 k명 이상의 고객을 가진 비율’ U_I,k^{(N)}(t)를 정의한다. 전체 상태는 무한 차원 벡터 U^{(N)}(t)이며, 이는 마코프 과정이다. 기대값을 u_W,k^{(N)}(t)=E