기하학적 Kₙ 그리기의 (≤k) 에지, 교차수 및 절반선에 관한 새로운 경계와 정확값

본 논문은 평면에 일반 위치에 놓인 n개의 점 집합 P에 대해 세 가지 고전적인 조합기하학 문제—직선 교차수 cr(P), 절반선 개수 h(P), 그리고 (≤k)-에지 개수 E_{\le k}(P)—를 통합적인 프레임워크 안에서 다룬다. 먼저 점 집합을 직선에 투사하고 회전시키면서 얻어지는 순열들의 연속을 ‘허용 가능한 시퀀스(allowable sequence)’라 정의한다. 이 시퀀스는 반주기(half‑period) 길이가 \(\binom{n}{2}+1\)인 순열 열이며, 인접한 두 순열은 인접 원소의 전이(transposition)로 연결된다. 각 전이는 k‑critical 전이로 구분되며, 이는 해당 전이가 k‑edge(또는 (n‑k)-edge)를 생성함을 의미한다. 논문은 허용 가능한 시퀀스를 이용해 기하학적 개념을 순열‑전이 통계로 변환한다. 예를 들어, k‑edge의 개수 E_k(P)와 (≤k)-에지의 누적 개수 E_{\le k}(P) 는 각각 k‑critical 전이와 그 이하 전이의 발생 횟수와 일치한다. 절반선은 \(\lfloor n/2\rfloor\)-critical 전이와 동일하며, 따라서 h(P)=E_{\lfloor n/2\rfloor-1}(P) 가 된다. 또한 교차수와 k‑edge 사이의 관계는 식 (3)으로 알려져 있는데, 이는 \