위르 하이젠베르크 군의 숨은 부분군 문제를 위한 효율적 양자 알고리즘

본 논문은 위르‑하이젠베르크(Weyl‑Heisenberg) 군에서 숨은 부분군 문제(HSP)를 효율적으로 해결하는 새로운 양자 알고리즘을 제시한다. 위르‑하이젠베르크 군은 차원 2n + 1의 엑스트라스페셜 p‑군으로, 물리학에서 일반화된 파울리 연산자와 양자 오류 정정 코드의 기반을 제공한다. HSP는 주어진 블랙박스 함수 f:G→S가 왼쪽 코사인 gH에 대해 상수이며 서로 다른 코사인에 대해 서로 다른 값을 갖는다는 약속 하에, 숨은 부분군 H를 찾는 문제이다. 입력 크기는 log|G|이며, 효율적인 양자 알고리즘은 다항 시간(poly(log|G|)) 내에 H를 복원해야 한다. 논문은 먼저 위르‑하이젠베르크 군의 구조를 상세히 소개한다. 군은 Z_{p}^{n+1}⋊_φ Z_{p}^{n} 형태의 반직접곱으로 정의되며, 원소는 (x, y, z)∈Z_{p}^{n}×Z_{p}^{n}×Z_{p} 로 표기된다. 군 연산은 (x, y, z)·(x′, y′, z′) = (x+x′, y+y′, z+z′+x′·y) 로 주어진다. 중심 Z(G)=G′={ (0,0,z) }는 Zₚ와 동형이고, G/G′는 2n 차원의 벡터 공간이며 심플렉틱 내적 (x,y)·(x′,y′)=x·y′−y·x′ 로 정의된다. 이 구조를 이용해 H가 아벨리안인지, 혹은 G′를 포함하는 정규 부분군인지 구분할 수 있다. 논문은 H가 G′를 포함하면 정규이며, 이 경우 기존 알고리즘