다각형의 확장 복잡도: 정다각형부터 일반 정다각형까지의 새로운 상한과 하한

본 논문은 평면에 존재하는 n각형의 확장 복잡도(xc(P))를 체계적으로 조사한다. 확장 복잡도는 다면체 P를 더 적은 면을 가진 고차원 다면체 Q의 투사로 표현할 수 있는 최소 면 수이며, 이는 최적화 문제에서 변수 수를 줄이는 데 핵심적인 개념이다. 1. **기본 정의와 배경** - 다면체 P⊂ℝᵈ는 m개의 면과 n개의 정점으로 정의된다. - 슬랙 행렬 S(P)∈ℝ^{m×n}은 각 정점가 각 면에 대해 남는 거리(b_i−A_i v_j)로 구성된다. - Yannakakis 정리에 따라 xc(P)=rank₊(S(P)), 즉 슬랙 행렬의 비음수 랭크가 바로 확장 복잡도와 동등하다. 2. **정n각형에 대한 O(log n) 상한** - 원점을 중심으로 하는 정n각형을 가정하고, 대칭축 ℓ₀,…,ℓ_{q−1}을 재귀적으로 정의한다. 여기서 q=O(log n)이다. - 각 정점 v와 각 면 F에 대해 “folding sequence”를 만든다. 이는 현재 점이 ℓ_i⁺ 반평면에 있지 않으면 ℓ_i에 대해 반사하고, 그렇지 않으면 그대로 유지하는 과정을 q번 반복한다. - 이 과정을 거치면 모든 정점은 v₁(기준점)으로, 모든 면은