이진 자기이중 코드 분류 혁신 알고리즘

** 본 논문은 이진 자기이중 코드의 완전 분류를 목표로, 기존의 재귀적 분류 방법이 갖는 “동형 테스트”의 비효율성을 극복하기 위한 새로운 알고리즘을 제시한다. 서론에서는 자기이중 코드가 설계 이론, 격자, 블록 디자인 등 다양한 분야와 깊은 연관성을 가지고 있음을 강조하고, 길이 20 이하까지는 플래스(Pless)의 작업으로 완전 분류가 이루어졌지만, 길이가 커질수록 동형 검증 비용이 급증한다는 문제점을 제시한다. 2장에서는 자기이중 코드의 기본 성질을 정리한다. 특히, 모든 이진 자기이중 코드는 두 개 이상의 동일 좌표를 가질 수 없다는 보조정리 2를 증명하고, 이를 바탕으로 길이 \(2k\)인 코드 \(C\)를 마지막 두 좌표가 서로 다를 경우에만 길이 \(2(k-1)\)인 코드 \(C_1\)로 축소할 수 있음을 정리 3으로 제시한다. 이어서, 정리 4와 정리 5를 통해 부모 코드 \(C_1\)와 선택된 벡터 \((a_1,\dots,a_{k-1})\)를 이용해 두 개의 자식 코드를 생성하고, 자동군 \(\operatorname{Aut}(C_1)\)이 정의하는 궤도에 따라 동형 여부를 판정하는 구체적인 수학적 절차를 제공한다. 정리 6은 마지막 두 좌표가 서로 다를 때 코드의 생성 행렬을 표준 형태로 변환할 수 있음을 보이며, 이 형태가 이후 알고리즘에서 canonical representative를 정의하는 기반이 된다. 3장에서는 실제 알고리즘을 상세히 기술한다. 탐색 공간 \(\Omega = \bigcup_{i=1}^{k}\Omega_i\)를 정의하고, 대칭군 \(S_{2k}\)의 작용에 의해 발생하는 동형 클래스들을 orbit 개념으로 다룬다. 핵심은 **canonical representative map \(\rho\)** 를 정의해 각 코드가 자신과 동형인 유일한 대표로 변환되도록 하는 것이다. 이를 위해 마지막 두 좌표가 서로 다른 형태를 강제하고, 사전 정의된 사전순(lexicographic) 순서를 이용해 가장 큰 행렬을 선택한다. 알고리즘은 루트 코드 \(\{00,11\}\)에서 시작해 깊이 우선 탐색으로 트리를 확장한다. 각 노드 \(A\)에 대해, 시스템 형태의 생성 행렬 \(G_A\)와 모든 홀수 가중치 벡터 \(\mathbf{a}\in\mathbb{F}_2^{k-1}\)를 이용해 가능한 자식 코드를 만든다. 여기서 정리 5에 의해 \(\mathbf{a}\)와 \(\mathbf{b}\)가 같은 자동군 궤도에 속하면 동일 동형 클래스에 속하므로 하나만 보존한다. 이렇게 생성된 자식 집합 \(Child(A)\)는 동형‑자유이며, 각 자식에 대해 \(\rho\)를 적용해 대표만을 저장한다. 전체 탐색이 종료되면 \(\Omega_k\)에 포함된 모든 코드가 서로 동형이 아닌 대표들로 구성된다. 4장에서는 알고리즘을 실제로 적용한 결과를 보고한다. 길이 38에 대해 총 38 682 183개의 서로 동형이 아닌 이진 자기이중 코드가 존재함을 정리 1으로 제시한다. 이는 기존 문헌에서 제시된 부분 결과와 일치하며, 길이 40에 대한 추정값도 표에 정리한다(표 1). 또한, 최소 거리 \(d\)에 따른 코드 분포, 자동군 크기 분포 등 부가적인 통계도 제공한다. 결론에서는 제안된 알고리즘이 동형 검증을 거의 완전히 회피함으로써 탐색 효율을 크게 향상시켰으며, 특히 길이 ≥ 38과 같은 대규모 문제에서도 실용적으로 적용 가능함을 강조한다. 향후 연구 방향으로는 더 높은 차원의 코드(예: 길이 ≥ 50)와 비이진 자기이중 코드에 대한 확장, 그리고 자동군 구조를 이용한 추가적인 최적화 가능성을 제시한다. **