그래프 스펙트럼을 이용한 생물학적 네트워크 클래스 구분

본 논문은 복잡 네트워크를 무작위 그래프 모델로 설명하려는 기존 연구들의 한계를 인식하고, 그래프 스펙트럼 자체를 네트워크의 “지문”으로 활용하는 새로운 분석 프레임워크를 제시한다. 먼저, 그래프 G의 인접행렬 A(G)의 고유값 λ₁≥λ₂≥…≥λ_n을 정규화하고, Nadaraya‑Watson 커널 회귀를 이용해 스펙트럼 밀도 ρ_G(λ)=lim_{n→∞}(1/n)∑δ(λ−λ_i/√n) 를 추정한다. 이때 커널 폭은 (max−min)/bin 수 로 설정하고, bin 수는 Sturges’ 규칙을 적용한다. 다음으로, 스펙트럼 밀도에 대한 미분 엔트로피 H(ρ)=−∫ρ(λ)logρ(λ)dλ 를 정의한다. 에르되시‑레니 무작위 그래프 g(p) 에 대해 대규모 n에서 ρ_g(λ)≈(1/2πp(1−p))√{4p(1−p)−λ²} 로 근사하고, 이를 적분해 H≈½ln(4π²p(1−p))−½ 를 얻는다. 시뮬레이션(노드 500, 그래프 100개)으로 추정된 엔트로피와 이론값을 비교했을 때 평균 편향이 −0.015에 불과해 추정기의 정확성을 확인한다. 스케일‑프리와 스몰‑월드 모델에 대해서는 정확한 식이 없으므로 파라미터(스케일 지수 p_s, 재배선 확률 p_r)별로 엔트로피를 수치적으로 계산한다. 두 그래프 스펙트럼 ρ₁, ρ₂ 사이의 차이를 정량화하기 위해 Kullback‑Leibler 발산 D_KL(ρ₁‖ρ₂)=∫ρ₁ log(ρ₁/ρ₂)와, 대칭성을 보장하는 Jensen‑Shannon 발산 D_JS(ρ₁,ρ₂)=½