선형 구조 방정식 모델에서 반사실적 추론: 분산 변화와 최적 계획

본 논문은 가우시안 선형 구조 방정식 모델(Gaussian Linear SEM)을 전제로, 특정 치료 변수(T)의 값이 반사실적으로 변했을 때 응답 변수(Y)의 분산이 어떻게 변하는지를 체계적으로 분석한다. 기존의 반사실적 추론 연구, 특히 Balke와 Pearl(1995)의 작업은 잠재 변수와 관측 변수 사이의 복잡한 인과 관계를 전제했으며, 반사실적 분포를 구하기 위해 전체 구조 모델을 명시적으로 풀어야 했다. 그러나 실제 데이터 분석에서는 전체 모델을 완전히 알기 어려운 경우가 많고, 관측된 변수들의 평균·공분산 정도만으로도 충분히 추론이 가능할 것이라는 직관이 있었다. 저자들은 이러한 필요성을 반영해, Balke와 Pearl이 제시한 반사실적 분포 공식을 총효과(total effect)와 관측 변수들의 공분산 행렬(Σ)만을 이용해 재표현한다. 먼저, 선형 구조 방정식 시스템을 다음과 같이 정의한다. 각 변수 V_i는 선형 결합 V_i = Σ_j a_{ij} V_j + ε_i 로 표현되며, ε_i는 평균 0, 분산 σ_i²인 독립적인 가우시안 잡음이다. 여기서 총효과 β_{YT}는 치료 변수 T가 응답 변수 Y에 미치는 직접·간접 효과를 모두 포함한다. 관측 변수 집합 X가 실제로 관측된 상황에서, 반사실적 시나리오를 설정하면 T에 새로운 값 t*를 할당하고, 그에 따라 Y의 반사실적 평균 μ*와 분산 σ*²를 구한다. 저자들은 베이즈 정리를 이용해 조건부 기대값 E