소음 민감도와 퍼콜레이션 강의노트

** 이 강의노트는 2010년 클레이 서머스쿨에서 진행된 “소음 민감도와 퍼콜레이션” 강의를 기반으로, 두 분야의 핵심 개념과 최신 결과를 체계적으로 정리한다. 전체는 네 개의 주요 파트로 구성된다. 첫 번째 파트는 부울 함수와 푸리에 분석에 대한 기초를 제공한다. 함수 \(f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}\)의 푸리에 전개를 정의하고, 각 계수 \(\hat f(S)\)가 함수의 구조적 복잡성을 어떻게 반영하는지 설명한다. 이어서 영향도(influence)와 총 영향도(total influence)의 정의를 제시하고, 이를 푸리에 계수와 연결하는 식 \(\operatorname{Inf}(f)=\sum_{S}|S|\hat f(S)^2\)를 증명한다. 소음 연산자 \(T_\rho\)를 도입해, \(\rho=1-2\epsilon\)일 때 \(\operatorname{NS}_\epsilon(f)=\frac12\bigl(1-\sum_S\rho^{|S|}\hat f(S)^2\bigr)\)라는 관계를 도출한다. 이 식은 소음 민감도가 고주파 스펙트럼에 의존한다는 직관을 제공한다. 두 번째 파트는 2차원 격자 퍼콜레이션, 특히 임계 퍼콜레이션의 정밀한 확률론적 성질을 다룬다. 격자 \(\mathbb Z^2\) 혹은 삼각 격자에서의 임계 확률 \(p_c\)를 소개하고, 클러스터 크기 분포가 멱법칙 \(\mathbb P(|C|>n)\asymp n^{-5/48}\)을 따르는 것을 설명한다. 스케일링 한계와 SLE\(_6\)의 등장, 경계 곡선의 프랙탈 차원 \(7/4\)와 전기 저항 차원 \(3/2\) 등을 상세히 서술한다. 이 파트에서는 Russo‑Seymour‑Welsh(RSW) 정리와 Cardy’s formula를 이용해 수평·수직 교차 확률을 정확히 추정한다. 세 번째 파트는 부울 함수와 퍼콜레이션을 연결하는 피벗(pivotal) 개념을 중심으로 전개된다. 한 변이 퍼콜레이션 이벤트의 결과를 바꾸는 경우를 피벗이라 정의하고, 피벗 수와 총 영향도의 동등성을 \(\operatorname{Inf}(f)=\mathbb E