이중 구간 검열 데이터 NPMLE를 위한 초고속 HeightMap 감소 알고리즘

본 논문은 이중 구간 검열(bivariate interval censored) 데이터에 대한 비모수 최대우도추정(NPMLE) 계산에서 가장 비용이 많이 드는 파라미터 감소 단계에 초점을 맞추어 새로운 두 알고리즘을 제안한다. 구간 검열 데이터는 실제 관측값 (x, y) 대신 (x₁, x₂]×(y₁, y₂] 형태의 직사각형 R으로 제공되며, 이러한 관측 직사각형들의 집합 {R₁,…,Rₙ}이 주어졌을 때 목표는 두 변수의 결합분포 F₀를 추정하는 것이다. NPMLE는 로그우도 ℓₙ(F)=∑_{i=1}ⁿ log P_F(R_i) 를 최대화하는 무한 차원의 최적화 문제이지만, Turnbull(1976)의 아이디어를 다변량으로 확장하면 질량을 할당할 수 있는 후보 영역이 유한 개의 “최대 교집합”(maximal intersections) A₁,…,Aₘ 로 제한된다. 여기서 m=O(n²)이며, 각 Aⱼ에 할당된 질량 αⱼ를 변수로 두면 로그우도는 α에 대한 m 차원 볼록 최적화 문제로 변환된다. 따라서 실제 계산은 (1) 최대 교집합을 찾는 파라미터 감소 단계와 (2) α를 최적화하는 단계로 나뉜다. 기존 연구에서는 다양한 파라미터 감소 알고리즘이 제안되었다. Betensky & Finkelstein(1999)의 단순하지만 비효율적인 타입‑1 알고리즘, Gentleman & Vandal(2001)의 타입‑2 알고리즘(O(n⁵) 시간·O(n³) 공간), Song(2001)의 또 다른 타입‑1 알고리즘, 그리고 Bogaerts & Lesaffre(2004)의 O(n³) 시간·O(n²) 공간을 갖는 최적의 타입‑1 알고리즘이 있다. 그러나 n이 커질수록 실행 시간과 메모리 요구량이 급격히 증가한다는 한계가 있다. 이에 저자는 두 가지 새로운 알고리즘을 설계한다. **1. Tree 알고리즘** Lee(1983)의 O(n log n) 최대 교차 사각형 탐색을 기반으로, 관측 직사각형을 이진 트리 구조에 삽입·삭제하면서 클리크 행렬 C (C_{j,i}=1_{A_j⊂R_i}) 를 직접 구성한다. 이는 타입‑2 알고리즘에 해당하며, 클리크 행렬을 즉시 얻을 수 있어 최적화 단계의 반복 계산을 피할 수 있다. 그러나 구현이 복잡하고, 실제 실험에서는 상세 구현을 제공하지 않고 개념만 소개한다. **2. HeightMap 알고리즘** 핵심적인 기여는 HeightMap 알고리즘이다. 먼저 각 직사각형 R_i=(x_{1,i},x_{2,i}]×(y_{1,i},y_{2,i}] 를 “canonical rectangle” 로 변환한다. 변환 과정은 x와 y 좌표를 각각 1…2n 의 순위값으로 매핑하고, 열린·닫힌 구간의 우선순위를 명시적인 비교 규칙(Algorithm 1)으로 정한다. 이렇게 하면 좌표 중복과 구간 경계 처리 문제가 사전에 해결된다. 그 다음 “높이 지도” h(x,y) 를 정의한다. h(x,y) 는 해당 좌표를 포함하는 관측 직사각형의 개수를 나타내며, h는 정수값을 갖는 2차원 격자이다. 중요한 관찰은 **최대 교집합이 바로 h의 지역 최대값**이라는 점이다. 따라서 스위핑(sweeping) 기법을 이용해 왼쪽에서 오른쪽으로 열을 순차적으로 처리한다. 스위핑 과정은 다음과 같다. - 현재 열에 진입하거나 떠날 때, 해당 열에 포함되는 직사각형들의 y‑구간에 대해 h를 +1 혹은 –1 로 업데이트한다. - 동시에 보조 배열 e