마라톤 심박수 시계열을 위한 새로운 확률 과정과 프랙탈 지수 추정법

본 논문은 마라톤 중 기록된 심박수(Heart Rate, HR) 시계열을 분석하여, 장기 의존성 파라미터를 보다 정확히 추정하고, 기존 모델이 설명하지 못하는 현상을 새 모델로 설명하고자 한다. 먼저 저자들은 HR 데이터가 평균과 분산이 급격히 변하는 구간을 포함하고 있음을 확인하고, 이를 Lavielle(1999)의 변곡점 검출 알고리즘을 적용해 자동으로 3개의 구간(시작, 중간, 끝)으로 분할한다. 변곡점 검출은 각 구간이 거의 정상(stationary)이라고 가정할 수 있게 하며, 구간별로 서로 다른 통계적 특성을 독립적으로 분석할 수 있는 기반을 마련한다. 다음으로, 기존 연구에서 널리 사용된 Detrended Fluctuation Analysis( DFA)를 비판한다. DFA는 트렌드가 존재할 경우 추정 편향이 크고, 특히 다항식 트렌드에 대해 강인하지 않으며, Hurst 지수가 1을 초과하는 비현실적인 값을 산출한다는 점을 지적한다. 이를 보완하기 위해 저자들은 웨이브렛 기반 추정법을 도입한다. 웨이브렛 변환은 신호를 여러 스케일로 분해하고, 각 스케일에서의 계수 분산을 로그‑로그 플롯에 회귀시켜 스케일링 지수(프랙탈 지수)를 추정한다. 이 방법은 최소 평균제곱오차(MSE) 기준에서 최적 수렴률을 보이며, 다항식 트렌드가 존재해도 일관된 추정값을 제공한다. 또한, 웨이브렛 분석을 이용해 적합도 검정(goodness‑of‑fit test)을 수행함으로써 모델의 타당성을 정량적으로 평가한다. 그 후, HR 데이터를 설명하기 위한 첫 번째 확률 모델로 Fractional Gaussian Noise(FGN)를 제시한다. FGN은 H∈(0,1) 범위의 Hurst 파라미터를 갖는 장기 의존성 가우시안 과정으로, HR 시계열이 보여주는 느린 상관감소와 자기유사성을 어느 정도 포착한다. 그러나 실제 데이터에 적용했을 때, 추정된 H가 1에 근접하거나 초과하는 경우가 빈번히 발생하고, 적합도 검정에서 모델이 기각되는 결과가 나타난다. 이는 HR 데이터가 전통적인 FGN의 가정(특히 H≤1)을 위배한다는 증거이다. 이를 해결하기 위해 저자들은 ‘국소 프랙탈 가우시안 노이즈(Local Fractional Gaussian Noise, LFGN)’라는 새로운 반파라메트릭 모델을 제안한다. LFGN은 주파수 영역에서 특정 밴드에만 적용되는 로컬 프랙탈 지수 d 를 도입한다. 이 지수는 (0, ∞) 전 범위에 걸쳐 허용되며, d>1인 경우에도 모델이 정의된다. 즉, 전통적인 Hurst 파라미터가 1을 초과하는 현상을 자연스럽게 설명한다. LFGN은 여전히 가우시안이며, 장기 의존성을 유지하지만, 스펙트럼이 특정 주파수 구간에서 다른 스케일링 법칙을 따르게 함으로써 구간별 다른 동적 특성을 포착한다. 실험에서는 9명의 마라톤 참가자 HR 데이터를 각 변곡점 구간별로 LFGN 모델에 적합시켰다. 웨이브렛 기반 추정으로 각 구간의 로컬 프랙탈 지수 d 를 구했으며, 시작 구간에서는 d≈0.9, 중간 구간에서는 d≈1.1, 마지막 구간에서는 d≈1.3 정도로 점진적으로 증가함을 확인했다. 이는 피로가 누적될수록 심박수 변동이 더 거칠어지고, 고주파 성분이 강화되는 현상을 의미한다. 또한, LFGN에 대한 적합도 검정에서 p‑값이 0.05보다 크게 나타나, 기존 FGN 모델보다 데이터에 더 적합함을 입증했다. 결론적으로, 논문은 (1) 변곡점 검출을 통한 구간 분할, (2) 웨이브렛 기반 H 추정, (3) 로컬 프랙탈 지수를 허용하는 LFGN 모델이라는 세 단계의 통합 프레임워크를 제시한다. 이 접근법은 HR 시계열의 비정상성, 트렌드, 장기 의존성을 동시에 고려하면서, 피로도와 같은 생리학적 상태 변화를 정량화할 수 있는 새로운 지표를 제공한다. 향후 연구에서는 LFGN을 다른 생리 신호(예: 호흡, 혈압)에도 적용하고, 실시간 피로 모니터링 시스템에 통합하는 방안을 모색할 수 있다.