통합 방정식 가족의 새로운 구성법

본 논문은 격자 적분가능 방정식의 새로운 구성 방법을 제시한다. 먼저, 히로타의 H3₀ 방정식 p(xx₁+ x₂x₁₂)=q(xx₂+ x₁x₁₂) 를 격자 가장자리 변수 u와 v로 재표현한다. u와 v는 각각 수평·수직 변위에 할당되며, 이들 사이의 관계는 u₂=v·p·u−q·v/(q·u−p·v), v₁=u·p·v−q·u/(q·u−p·v) 로 주어진다. 이 시스템을 C²→C² 인볼루션 양-바우터 맵으로 해석하고, 맵의 불변량 형태 F(U)+G(V)=f(u)+g(v)를 찾는다. 미분 방정식 −p q U⁴F''+c₂U²+c₁U+c₀=0 (및 V에 대한 유사식)을 풀어 F와 G를 로그와 선형, 제곱근 항의 조합으로 얻는다. 구체적으로 F(U)+G(V)=a ln(U/V)+b(pU−qV)+c√(pU−qV) 가 되며, 이는 역변환을 통해 u와 v에 대한 식으로 다시 쓰이면 a ln u + p b u + c u = ψ₁+ψ, a ln v + q b v + c v = ψ₂+ψ 와 같은 형태가 된다. 여기서 ψ는 격자 점 (m,n) 에서 정의되는 잠재함수이며, ψ₁₂는 위 식을 이용해 ψ₁₂ = ψ + a ln