두 볼록 다면체의 Minkowski 합 최대 면수 정리

본 연구는 두 볼록 d‑다각형 P₁, P₂(정점 수 각각 n₁, n₂, d ≥ 2)의 Minkowski 합 P₁⊕P₂가 가질 수 있는 k‑면(0 ≤ k ≤ d‑1)의 최대 개수를 정점 수만을 변수로 하는 정확한 식으로 규정한다. 먼저, 차원 d+1 공간에 P₁을 평면 {x_{d+1}=0}, P₂를 {x_{d+1}=1}에 삽입하고, 이들의 볼록 껍질 P = CH_{d+1}({P₁,P₂})를 만든다. 이때 P의 모든 면은 세 종류로 나뉜다: P₁·P₂ 자체의 두 면, 그리고 두 다각형 모두에 속하지 않는 면들의 집합 F. 중요한 관찰은 F의 k‑면과 P₁⊕P₂의 (k‑1)‑면 사이에 일대일 대응이 존재한다는 점이다. 따라서 P₁⊕P₂의 복잡도는 F의 복잡도로 완전히 환원된다. 다음 단계에서는 F를 순수·단순 복합체로 가정하고, f‑벡터 f(F)와 h‑벡터 h(F)를 정의한다. 기존의 Dehn‑Sommerville 방정식은 단순 다면체에만 적용되지만, 저자들은 이를 변형해 F의 경계 복합체인 ∂P₁, ∂P₂의 g‑벡터와 결합한 새로운 방정식 체계를 구축한다. 이 방정식과, h‑벡터 원소 사이의 재귀 관계를 이용해 hₖ(F) (k > ⌊(d+1)/2⌋)에 대한 상한을 귀납적으로 계산한다. 계산 결과는 사이클릭 d‑다각형 C_d(n)의 f‑벡터와 조합적 항들의 차이 형태로 나타난다. 구체적으로, \