두표본 콜모고로프 스미르노프 검정의 편향성과 무편향성

이 논문은 두표본 콜모고로프‑스미르노프(KS) 검정이 표본 크기가 다를 때 일반적으로 무편향하지 않다는 사실을 이론적으로 증명하고, 특정 상황에서는 무편향이 될 수 있음을 보인다. 먼저 무편향성의 정의를 재정리하고, KS 검정 통계량 Dₙ,ₘ가 이산적인 분포를 갖는 점을 강조한다. 이산성 때문에 p‑값도 이산적이며, α가 특정 구간에 있을 때 검정의 파워가 일정하게 유지된다는 점을 이용한다. 논문은 크게 네 부분으로 구성된다. 1. **무편향성 정의와 KS 검정의 기본 성질** - 무편향성은 “모든 대립분포에 대해 검정 파워가 유의수준 α 이상”이라는 조건으로 정의한다. - 두표본 KS 검정은 경험분포함수 차이의 최대값 Dₙ,ₘ을 이용해 귀무가설 H₀: F=G를 검정한다. - Dₙ,ₘ는 이산적인 값(예: n=m=50이면 1/50,2/50,…,1)만을 취한다. 2. **한쪽 대립가설에 대한 무편향성 (Theorem 2.1)** - 대립가설을 F≤G 혹은 F≥G 로 제한하고, α를 충분히 작게 잡아 Dₙ,ₘ가 -1(또는 1) 일 때만 기각하도록 한다. - 이 경우 기각 확률은 ∫₀¹(1−x)^{n−1}G(x)^{m}dx 와 같은 형태가 되며, G(x)≥x (또는 ≤x) 조건 하에서 최소값은 G(x)=x, 즉 균등분포에서 얻어진다. - 따라서 아주 작은 α에서는 검정이 무편향한다는 결론을 얻는다. 3. **양측 대립가설에 대한 편향성 (Theorem 2.2, 2.3, 2.4)** - α를 작게 잡아 Dₙ,ₘ=1 일 때만 기각하도록 하면, 기각 확률은 ∫₀¹