구면 위 새로운 적분계와 이중 모저 시스템

논문은 먼저 사영동등(metric) \(g_{1}\) 과 \(g_{2}\) 가 같은 무파라미터화된 측지곡선을 공유한다는 고전적인 사실을 소개한다. 타원체 \(E_{n}=\{Q\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\sum_{\alpha}Q_{\alpha}^{2}/a_{\alpha}=1\}\) 에 대한 유클리드 계량을 구면 \(S^{n}\) 에 제한하면, 첫 번째 계량 \(g_{1}\) 은 \(g_{1}=\sum_{\alpha}a_{\alpha}\,dq_{\alpha}^{2}\) 의 형태를 갖는다. 두 번째 계량 \(g_{2}\) 은 \(g_{2}=B^{-1}\sum_{\alpha}dq_{\alpha}^{2}\) 이며, 여기서 \(B=\sum_{\alpha}q_{\alpha}^{2}/a_{\alpha}\) 이다. 두 계량은 서로 사영동등이므로, 각 계량에 대응하는 라그랑지안 \(L_{1}= \frac12\sum_{\alpha}a_{\alpha}v_{\alpha}^{2}\) 와 \(L_{2}= \frac12 B\sum_{\alpha}v_{\alpha}^{2}\) 을 정의한다. Tabachnikov가 제시한 일반적인 사영동등 체계 구축법을 적용한다. 두 라그랑지안 사이의 다이얼레톤 \(\varphi:T S^{n}\to T S^{n}\) 는 속도 벡터를 \(\tilde v = v\sqrt{L_{1}/L_{2}}\) 로 변환한다. 이 변환은 \(X_{1}\) (\(L_{1}\)에 대한 해밀토니안 흐름)와 \(X_{2}\) (\(L_{2}\)에 대한 흐름)을 함수적으로 종속시키며, 즉 \(\varphi^{*}X_{2}=h\,X_{1}\) 인 스칼라 \(h\) 가 존재한다. 다음 단계에서는 1‑형식 \(\lambda_{N}=g_{N}(v,\,\cdot)\) 와 그 외부 미분 \(\omega_{N}=d\lambda_{N}\) 을 이용한다. 특히 \(\omega_{2}'=d(L_{2}^{-1/2}\lambda_{2})\) 를 정의하고, \(\varphi^{*}\omega_{2}'\) 가 \(X_{1}\)‑불변임을 보인다. 이 사실을 이용해 \(f_{t}=(t-1)\,\omega_{1}+\varphi^{*}\omega_{2}'\) 의 \(n\)‑제곱을 취하면 \(X_{1}\)‑불변 \(n\)‑형식이 얻어진다. 구면의 제약 \(q\cdot q=1,\; v\cdot q=0\) 을 적용하고, 운동량 \(p_{\alpha}=a_{\alpha}v_{\alpha}\) 를 도입하면, 이 형식은 다항식 형태로 전개된다. 계산을 전개하면 다음과 같은 일련의 포아송 교환 적분량을 얻는다. \