인접 짧은 사이클 없는 평면 그래프의 군 엣지 선택 가능성

본 논문은 군 색채 이론을 엣지 색칠과 리스트 엣지 색칠에 적용하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 먼저, 군 색채와 리스트 색채의 기본 개념을 정리하고, 이를 라인 그래프 L(G) 를 통해 엣지 영역에 자연스럽게 옮긴다. 구체적으로, 임의의 아벨 군 A( |A| ≥ k )와 함수 f : E(G)→A 를 고정한 뒤, 정점 색칠 c : V(G)→A 가 모든 방향된 간선 uv에 대해 c(u)−c(v) ≠ f(uv) 를 만족하면 G 를 A‑군 색칠 가능하다고 정의한다. 이 정의는 방향에 무관함을 Lai와 Zhang이 증명했으며, 군 색채 수 χ_g(G)는 최소 k 로 정의된다. 리스트 군 색채는 각 정점에 k‑원소 리스트 L(v)⊆A 를 부여하고, 모든 f에 대해 L‑제한 색칠이 가능한 최소 k 를 χ_gl(G) 로 정의한다. 논문은 이러한 정의를 라인 그래프에 적용하여 군 엣지 색칠 수 χ′_g(G)=χ_g(L(G)), 군 엣지 리스트 선택 수 χ′_gl(G)=χ_gl(L(G)) 를 도입한다. 첫 번째 주요 결과는 Theorem 1.3 으로, 모든 단순 연결 그래프 G 에 대해 Δ(G) ≤ χ′_g(G) ≤ χ′_gl(G) ≤ 2Δ(G)−2 가 성립한다. 특히 Δ(G)≤3 인 경우 χ′_g(G)≤Δ(G)+1 가 되며, Δ(G)=2 일 때는 두 수가 정확히 일치한다. 이를 바탕으로 Vizing‑type 추측인 Conjecture 1.4(Δ ≤ χ′_g(G) ≤ Δ+1)와 Conjecture 1.5(χ′_g(G)=χ′_gl(G)) 를 제시한다. 다음으로, Lemma 2.1 은 (Δ+i)‑군 엣지‑크리티컬 그래프 G 가 연결이며, 모든 인접 정점 u, v 에 대해 d(u)+d(v) ≥ Δ+i+2 를 만족한다는 구조적 제약을 도출한다. 이로부터 δ(G) ≥ i+2 가 바로 얻어지고, 특히 i=1 일 때 2‑퇴화 그래프는 Δ+1‑군 엣지‑리스트 선택 가능함을 즉시 증명한다(Corollary 2.3). 핵심은 Theorem 2.4 로, 인접한 짧은 사이클을 포함하지 않는 평면 그래프에 대해 네 가지 경우를 다룬다. (1) s=3, t=3, Δ≥8; (2) s=3, t=4, Δ≥6; (3) s=4, t=5, Δ≥5; (4) s=4, t=7 (Δ 제한 없음). 여기서 s와 t는 금지된 i‑사이클과 j‑사이클의 길이 범위이다. 증명은 최소 반례를 가정하고, Euler 식을 이용해 각 정점 v와 면 f 에 초기 전하 c(v)=(n²−m)d(v)−n, c(f)=md(f)−n (적절한 정수 n,m) 를 부여한다. 이후 정점·면 간 전하 이동 규칙(R1–R4)을 설계해 전하 보존을 유지하면서 모든 원소의 최종 전하 c′(x)≥0 를 보인다. 전하가 음수가 될 경우 최소 반례가 존재한다는 가정에 모순이 되므로, 해당 그래프들은 모두 Δ+1‑군 엣지‑리스트 선택 가능함을 얻는다. 특히, 기존 리스트 (Δ+1)‑엣지 색칠 연구에서 핵심이 되는 “3‑교대 사이클은 존재하지 않는다”는 성질이 군 색채에서는 성립하지 않음에도 불구하고, 전하 재분배 규칙을 세밀히 조정함으로써 동일한 결론을 도출한 점이 눈에 띈다. Theorem 2.4 로부터 바로 얻어지는 두 개의 직접적인 결과는 다음과 같다. Corollary 2.5: girth≥5 인 모든 평면 그래프는 Δ+1‑군 엣지‑리스트 선택 가능. Corollary 2.6: girth≥4 이면서 Δ≥6 인 평면 그래프 역시 동일한 성질을 갖는다. 이는 기존에 알려진 리스트 (Δ+1)‑엣지 색칠 결과와 일치하지만, 군 색채 관점에서 새롭게 증명된 것이다. 마지막으로 논문은 앞서 증명한 결과들을 바탕으로 Conjecture 1.4와 Conjecture 1.5 를 부분적으로 확인한다. 2‑퇴화 그래프와 위의 네 경우에 해당하는 평면 그래프는 모두 χ′_g(G)≤Δ+1 를 만족하고, 특히 큰 girth와 충분히 큰 Δ를 가진 경우에는 χ′_g(G)=χ′_gl(G)=Δ 가 된다. 이는 군 색채 이론이 기존 정점 색채와 리스트 색채의 경계에 새로운 층을 추가함을 보여준다. 전체적으로, 군 엣지 색채와 리스트 군 엣지 색채에 대한 기본 정의를 확립하고, 디스차징 기법을 정교히 변형하여 평면 그래프의 넓은 클래스에 대해 강력한 선택 가능성을 증명함으로써, 군 색채 이론을 엣지 영역으로 확장하는 데 중요한 기여를 한다.