최소 병합 횟수로 구성된 멩거 경로의 존재성

본 논문은 비순환 방향 그래프(G)에서 다중 소스(S_1,…,S_n)와 다중 시크(R_1,…,R_n)를 갖는 상황에서, 각 소스‑시크 쌍 (S_i,R_i) 사이의 최소 컷 크기 c_i 를 기준으로 멩거 경로 집합 α_i 를 선택할 때 발생하는 병합(merging)의 개수를 정량적으로 분석한다. 1. **기본 정의와 문제 설정** - 멩거 경로는 u와 v 사이의 최대 쌍별 edge‑disjoint 경로 집합을 의미한다. - 여러 멩거 경로가 동일한 에지 e 를 공유하고, 그 직전 단계에서 서로 다른 두 경로가 e 에 도달하면 이를 병합이라 정의한다. 같은 에지에서 발생하는 모든 병합을 하나로 카운트한다. - 병합 수를 최소화하는 문제를 M(G) 로 정의하고, 모든 가능한 그래프와 경로 선택에 대해 최악 상황의 상한을 M(c_1,…,c_n) 로 표기한다. 2. **두 쌍에 대한 구체적 상한 (Lemma 2.7)** - 두 소스‑시크 쌍 (S_1,R_1), (S_2,R_2) 에 대해 최소 컷 크기 c_1, c_2 라고 하면, 병합 수는 \