유리 매개 다변량 곡선 및 곡면의 볼록 껍질은 SDP로 표현 가능

본 논문은 “유리 매개화된 대수다양체의 볼록 껍질(convex hull)이 반정밀(semidefinite) 표현가능한 경우”를 이론적으로 규명하고, 구체적인 예시를 통해 실제 구현 방법을 제시한다. 서론에서는 반정밀 프로그래밍(SDP)이 선형 프로그래밍을 일반화한 강력한 최적화 도구이며, 양의 반정밀 행렬의 선형 절단과 투영을 통해 다양한 비선형 문제를 다룰 수 있음을 소개한다. 그러나 모든 볼록 반대수집합이 SDP로 표현될 수 있는지는 미해결 문제이며, 기존 연구에서는 특정 경우에 한정된 결과만 알려져 있었다. 논문의 핵심은 두 가지 수학적 도구인 (1) Veronese 사상 ζ₂d(x)와 (2) 순간 행렬 M_d(y)⪰0의 이중성을 결합하는 것이다. Veronese 사상은 원래 변수 x∈ℝ^{m+1}를 차수 2d의 모든 단항식으로 매핑해 고차 다항식 공간 ℝ^{s(m,2d)}에 삽입한다. 이 이미지 집합 W_{m,d}= {ζ₂d(x)}는 비선형 다양체이며, 그 볼록 폐합 Z_{m,d}=conv W_{m,d}는 자연스럽게 반정밀 표현을 기대하게 만든다. 순간 행렬 M_d(y)는 y∈ℝ^{s(m,2d)}에 대해 정의되며, M_d(y)⪰0인 경우 y는 어떤 비음 다항식의 모멘트(또는 SOS) 표현을 의미한다. 따라서 Y_{m,d}= {y | M_d(y)⪰0}는 SOS 기반의 반정밀 원뿔이다. 정리 1에서는 세 가지 경우—(a) m=1 (즉, 1차원 매개변수, 곡선), (b) d=1 (2차식 매개 초곡면), (c) m=d=2 (2변수 4차식 매개 초곡면)—에 대해 Z_{m,d}=Y_{m,d}임을 증명한다. 증명은 다음과 같다. Z⊂Y는 순간 행렬 정의에 의해 즉시 성립한다. 반대 포함을 보이기 위해, y∉Z라 가정하고 이를 엄격히 구분하는 선형 함수 p(y)를 선택한다. p(y)는 전역 비음이 아닌 다항식 p(x)=pᵀζ₂d(x)와 대응한다. 위 세 경우에는 Hilbert’s 17th problem의 특수 해답에 의해 모든 비음 다항식이 SOS로 표현될 수 있다(즉, p(x)=∑q_k(x)²). 따라서 pᵀy=trace(P M_d(y))<0이 되려면 M_d(y)⪰0가 깨져야 하므로 y∉Y와 모순이 된다. 따라서 Z=Y가 성립한다. 다음으로, 임의의 선형 사상 A∈ℝ^{(n+1)×s(m,2d)}를 적용해 유리 다양체 V_{m,d}=A(W_{m,d})를 정의한다. 이는 “affine projection of Veronese variety”라 부를 수 있다. Corollary 1은 정리 1의 결과를 그대로 전이시켜, V_{m,d}의 볼록 껍질이  conv V_{m,d}= {v∈ℝ^n | ∃y :