퇴화된 제3형 파인레베 방정식의 연결 공식과 영점·극점 구조

본 논문은 퇴화된 제3형 파인레베 방정식(1.1)을 이소모노드로미 변형법(Isomonodromy Deformation Method)으로 분석한다. 첫 번째 파트에서 제시된 2×2 라그랑주(푸흐스‑가르니에) 쌍을 재정리하고, 그 호환성 조건이 시스템 (1.5) 형태의 이소모노드로미 변형 방정식임을 보인다. 여기서 \(A(\tau),B(\tau),C(\tau),D(\tau)\)는 원래 비선형 방정식의 해 \(u(\tau)\)와 보조 함수 \(\varphi(\tau)\)를 통해 정의되며, \(\varepsilon=\pm1\), \(b>0\), 복소 파라미터 \(a\)는 상수이다. 라그랑주 쌍은 복소 \(\mu\)-평면에서 두 개의 불규칙 특이점 \(\mu=0,\infty\)를 갖는다. 각각의 섹터 \(\Omega_{\infty}^{k},\Omega_{0}^{k}\)에서 정규화된 기본 해 \(Y_{\infty}^{k}(\mu)\)와 \(X_{0}^{k}(\mu)\)를 전개하면, \(\mu\to\infty\)에서는 WKB 형태 \(\exp\{-i(\tau\mu^{2}+ (a-i/2)\ln\mu)\sigma_{3}\}\)와 \(\mu^{-1}\) 급수, \(\mu\to0\)에서는 \(\exp\{-i\sqrt{\tau\varepsilon b}\,\mu\sigma_{3}\}\)와 \(\mu\) 급수가 나타난다. 이 전개를 이용해 스톡스 행렬 \(S_{\infty}^{k},S_{0}^{k}\)를 정의하고, 그 구조는 (1.8)–(1.10)에 의해 6개의 독립 스톡스 계수로 축소된다. 다음으로 모노드로미 행렬 \(M_{\infty},M_{0}\)와 연결 행렬 \(G\)를 도입한다. 정의에 따라 \(Y_{\infty}^{0}=X_{0}^{0}G\)이며, 사이클 관계 \(GM_{\infty}=M_{0}G\)가 성립한다. 행렬식이 1인 제약 하에, 스톡스 계수와 \(G\)의 원소 \(g_{ij}\)는 8개의 복소 파라미터 \((a,s_{0}^{0},s_{\infty}^{0},s_{\infty}^{1},g_{11},g_{12},g_{21},g_{22})\)로 표현된다. 이 파라미터들은 추가적인 관계식 (1.12)–(1.14)와 함께 4차원 다양체 \(\mathcal M\)를 형성한다. 본 논문의 핵심은 \(\tau\to+\infty\)에서 직접 모노드로미 문제를 해결하는 것이다. 섹션 3에서는 \(\mu\)-부분을 WKB‑패러볼라 근사와 파라볼라‑실린더 함수 매칭을 통해 전역 해를 구성한다. 섹션 4에서는 이 해를 역으로 이용해 역모노드로미 문제를 풀어, \(\tau\)에 대한 원래 비선형 방정식의 해 \(u(\tau)\), 그리고 연관된 해밀토니안 \(H(\tau)\)와 보조 함수 \(f(\tau)\)의 점근식을 모노드로미 데이터에 명시적으로 연결한다. 특히 \(\varepsilon b>0\)인 경우, \(\tau\)와 \(\varepsilon b\)를 복소 위상 \(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\) 로 분리하고, 8개의 변환 \(F_{\epsilon_{1},\epsilon_{2}}\) (식 (2.1)–(2.6))를 정의하여 \(\mathcal M\) 위의 대칭 작용을 기술한다. 이 변환은 부호 선택에 따라 해의 다가오는 영점·극점 배열을 바꾸며, 실제와 허수 축에서 서로 다른 패턴을 만든다. 점근식은 다음과 같이 요약된다. 실축 \(\tau\in\mathbb R_{+}\)에서 \(\varepsilon b>0\)이면, \