대수곡면 잔류와 코딩 이론의 새로운 연결

이 논문은 “잔류”라는 개념을 대수곡면 차원으로 끌어올리고, 이를 코딩 이론에 적용하는 두 단계 연구를 수행한다. 첫 번째 파트(섹션 1‑6)에서는 매끄러운 대수곡면 S와 그 위에 매립된 정규 곡선 C, 점 P를 고정한다. 기존 복소수 기하학에서의 잔류 정의는 두 가지 형태가 있다. 하나는 n‑차원 다양체 X와 점 P에서의 n‑형식의 복소수값 잔류이며, 다른 하나는 1‑차원 부분다양체 Y에 대한 q‑형식의 (q‑1)‑형식 잔류이다. 저자는 이 두 관점을 통합해, 임의의 체 k 위의 S에 대해 2‑형식 ω에 대해 다음과 같이 정의한다. 1. **1‑차원 잔류**: ω를 dv∧η₁+η₂ 로 분해하고, η₁|_C 를 C 위의 1‑형식으로 취한다. 이 1‑형식은 v(=C의 균일화 매개변수)의 선택에 무관하며, 좌표 변화에 대해 불변이다. 2. **2‑차원 잔류**: 위에서 얻은 1‑형식 η₁|_C 를 다시 점 P에서의 1‑형식 잔류로 취한다. 즉, η₁|_C 를 Laurent 전개하고, u⁻¹ 항의 계수를 2‑잔류로 정의한다. 섹션 2에서는 두 변수 (u, v) 로 이루어진 Laurent 전개를 정밀히 구축한다. (u, v) 가 “강한 (P, C)‑쌍”이라면, O_{S,P} → k