그래프 곱의 구간 엣지 색채 가능성 연구

본 연구는 구간 엣지 색채(interval edge coloring)라는 특수한 엣지 색채 개념을 중심으로, 그래프 곱 연산에 대한 색채 가능성을 체계적으로 탐구한다. 서론에서는 구간 색채의 역사적 배경과 NP‑complete 성질, 기존에 알려진 상한·하한 결과들을 요약하고, 특히 Kubale와 Giaro가 2004년에 증명한 카테시안 곱 G□H가 𝔑에 속한다는 정리를 소개한다. 이어서 논문은 그래프 곱의 정의를 명확히 하고, 정규 그래프와 구간 색채 가능 그래프의 기본 성질(Theorem 1, Corollary 2 등)을 정리한다. 주요 결과는 다섯 개의 정리와 그에 따른 여러 corollary로 구성된다. 1) Theorem 15에서는 G∈𝔑이고 H가 r‑regular 그래프이면 텐서 곱 G×H도 𝔑에 속함을 보인다. 증명은 K₂×H가 r‑regular 이분 그래프이며 𝔑에 속한다는 사실을 이용해, G의 구간 t‑색채 α와 K₂×H의 구간 r‑색채 β를 결합해 γ(e)= (α(e_G)−1)·r+β(e_H) 형태의 색을 정의함으로써 구간 t·r‑색채를 만든다. 이때 w(G×H)≤w(G)·r, W(G×H)≥W(G)·r가 성립한다. 2) Theorem 17은 강텐서 곱 G⊗H에 대해 동일한 가정을 두고, (r+1)·t 색채를 구성한다. 여기서 K₂⊗H가 (r+1)‑regular 이분 그래프임을 이용한다. 3) Theorem 19는 강곱 G⊠H에 대해 G, H∈𝔑이고 H가 r‑regular이면 G⊠H∈𝔑임을 증명한다. 색채는 강텐서 부분에 대해 앞선 방법을 적용하고, 각 복제된 H_i 서브그래프에 대해 별도의 r‑색채를 배정해 전체 색이 연속 구간을 이루게 한다. 색상 수에 대한 경계는 w(G⊠H)≤w(G)·(r+1)+r, W(G⊠H)≥W(G)·(r+1)+r이다. 4) Theorem 22는 사전곱 G