최대 차수 격자에 대한 모르델 부등식

본 논문은 “최대 차수 격자에 대한 모르델 부등식”이라는 제목 아래, 복소수체 혹은 사원수 스키드필드 위에 정의된 격자들을 일반화된 모르델 부등식의 틀 안에서 연구한다. 먼저 K를 복소수 C 또는 사원수 H 로 두고, 각각에 대응하는 전완전 사원수 대수 A(허수 이차수체) 혹은 전완전 사원수 대수 A를 도입한다. 이때 A의 최대 ℤ‑차수 𝒪 를 선택하여, 𝒪‑격자(𝒪‑모듈) 를 K‑벡터공간 E_{r m} (r=2이면 복소, r=4이면 사원수) 안의 격자로 정의한다. **1. 기본 설정 및 정의** - 𝒪는 자유 ℤ‑모듈이며 rank_ℤ 𝒪 = rank_ℝ K = r. - D_{𝒪}=det(½(α_iα_j+α_jα_i)) 은 𝒪의 불변량으로, 선택된 ℤ‑기저 {α_i}에 독립적이다. - 격자 Λ의 노름 N(Λ) 은 가장 짧은 비영벡터의 길이 제곱이며, 행렬식 det(Λ) 은 기본 영역의 부피이다. **2. 이중 격자와 행렬식 관계** Proposition 2.1은 Λ^{#} = {x∈E_{r m} | h(x,Λ)⊂𝒪} 가 𝒪‑격자이며, det Λ·det Λ^{#}=D_{𝒪}^{2m} 임을 증명한다. 자유 𝒪‑격자에 대해서는 기저를 이용한 직접 행렬식 계산으로, 비자유 경우는 지역화와 Lemma 2.2를 통해 일반화한다. 이 결과는 격자와 그 이중격자의 부피가 𝒪의 구조에 의해 일정하게 연결됨을 보여준다. **3. 부분공간과 투영에 대한 행렬식 공식** Lemma 2.3와 Proposition 2.4는 K‑헐미티안 부분공간 F⊂E_{r m} 에 대해 Λ∩F 와 π_{F^{⊥}}(Λ) 가 각각 𝒪‑격자가 되는 조건을 제시하고, det Λ = det(Λ∩F)·det(Λ^{#}∩F^{⊥})·D_{𝒪}^{-2(m−s)} (s=dim_K F) 라는 식을 도출한다. 이는 격자의 전체 부피를 부분 격자와 이중 격자의 부분 부피로 분해하는 핵심 도구이며, 이후의 부등식 증명에 필수적이다. **4. 𝒪‑헐미티안 상수와 모르델 부등식** 𝒪‑헐미티안 상수 γ(𝒪, r m)=sup_{Λ} N(Λ)·det(Λ)^{1/(r m)} 를 정의하고, m≥3일 때 다음과 같은 일반화된 모르델 부등식을 증명한다. γ(𝒪, r m) ≤ γ(𝒪, r(m−1))^{(m−1)/(m−2)}·D_{𝒪}^{1/