유한 사원수 정수 링 위의 순환 코드와 퀘터니언 만하탄 거리

본 논문은 사원수 정수의 특수한 유한 링 \(H(K_1)_{\pi^k}\) 위에 퀘터니언 만하탄 거리 체계를 정의하고, 이를 기반으로 순환 코드를 설계·분석한다. 첫 장에서는 사원수 대수 \(H(\mathbb R)\) 와 정수 부분 \(H(\mathbb Z)\) 의 기본 성질을 소개한다. 특히 \(H(K_1)=\{a_0+a_1(i+j+k)\mid a_0,a_1\in\mathbb Z\}\) 이라는 부분환을 선택하는 이유는, 이 집합에서 곱셈이 교환법칙을 만족해 고전적인 순환 코드 이론을 그대로 적용할 수 있기 때문이다. 다음으로, 홀수 소수 \(p\) 에 대해 \(N(\pi)=p\) 인 사원수 소수 \(\pi\) 가 존재함을 이용해 \(H(K_1)_{\pi^k}=H(K_1)/\langle\pi^k\rangle\) 를 정의한다. 이 잔류 클래스 링은 정수 링 \(\mathbb Z_{p^k}\) 와 동형이며, 따라서 오일러 토션트 함수 \(\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\) 와 같은 수론적 성질을 그대로 물려받는다. 핵심 개념인 퀘터니언 만하탄 거리 \(d_{QM}\) 는 두 원소 \(\alpha,\beta\) 의 차를 \(\gamma=a+b(i+j+k)\) 라 두고, 가중치 \(w_{QM}(\gamma)=|a|+3|b|\) 을 정의한다. 여기서 \(a\) 는 완전 부분, \(b\) 는 벡터 부분의 계수이며, 벡터 부분에 3배 가중을 주어 2차원 신호 공간에서의 실제 오류 비용을 보다 정확히 반영한다. 정리 1에서는 \(\pi=a+b(i+j+k)\) 가 소수이고 \(p=a^2+3b^2\) 가 정수 소수일 때, \(\phi(p^2)/2\) 길이의 순환 코드를 만들 수 있음을 보인다. 증명은 \(H(K_1)_{\pi^2}\) 의 곱셈군이 순환군임을 이용한다. 구체적으로, 생성원 \(g\) 에 대해 \(g^{\phi(p^2)}\equiv1\) 이면서 \(g^{\phi(p^2)/2}\equiv-1\) 이므로 \(x^{\phi(p^2)/2}+1\) 다항식이 \(x^{\phi(p^2)/2}+1=(x-g)Q(x)\) 로 인수분해된다. 여기서 \(x-g\) 가 생성 다항식이 되고, 이에 대응하는 생성 행렬은 모든 행이 영인자를 포함하지 않으므로 코드가 자유 \(H(K_1)_{\pi^2}\) 모듈러임을 확인한다. 다중 소수 \(\pi_1,\dots,\pi_m\) 에 대해서는 각각의 \(p_i=a_i^2+3b_i^2\) 가 서로소이므로, 중국인의 나머지 정리를 적용해 \(H(K_1)_{\pi_1\cdots\pi_m}\) 에서도 동일한 구조를 얻는다. 정리 4는 \(\pi_1,\pi_2\) 두 소수에 대해 길이 \(\phi(p_1)\) 와 \(\phi(p_2)\) 의 순환 코드를 동시에 설계할 수 있음을 보여준다. 이때 생성 다항식은 1차 단항 \(x-e\) 형태이며, \(e\) 는 \(H(K_1)_{\pi_1\pi_2}\) 내에서 \(e^{\phi(p_i)}\equiv1\) 을 만족하는 원소이다. 디코딩 절차는 전통적인 사이클릭 코드의 시그마 디코딩을 퀘터니언 만하탄 거리와 결합한다. 수신 벡터 \(r\) 에 대해 다항식 \(r(x)\) 을 \(g(x)\) 으로 나눈 나머지 \(s(x)\) (시그마)를 구하고, 사전 계산된 시그마-오류 대응표를 이용해 오류 위치와 크기를 추정한다. 논문은 특히 \(w_{QM}=1\) 인 단일 오류에 대해 완전 복구가 가능함을 증명한다. 마지막으로, 예시 1에서는 \(\pi=2+i+j+k\) 에 대해 \(x^{21}+1\) 을 인수분해하고, 생성 다항식 \(g(x)=x-\alpha\) (\(\alpha=1-i-j-k\)) 를 사용해 20×21 생성 행렬을 구성한다. 이 코드는 퀘터니언 만하탄 가중치가 1인 오류를 정확히 정정할 수 있음을 시뮬레이션 결과와 함께 제시한다. 전체적으로, 논문은 사원수 정수 링이라는 비가환 구조를 교환 가능한 부분환 \(H(K_1)\) 으로 제한함으로써, 기존의 가우시안 정수 기반 순환 코드와 유사한 대수적 도구를 적용한다. 퀘터니언 만하탄 거리의 도입은 QAM 변조와 같은 2차원 복소수 신호에 대한 오류 정정 효율을 높이며, 제시된 코드는 길이와 차원에서 기존 코드보다 더 풍부한 설계 자유도를 제공한다.