유라리안 네트워크에서 세 쌍의 간선 불연속 경로를 선형 시간에 찾는 알고리즘

본 논문은 “세 쌍의 터미널을 연결하는 간선‑불연속 경로(Three Edge‑Disjoint Paths) 문제”를, 그래프 G와 요구 그래프 H의 합 G+H가 모든 정점에서 차수가 짝수인 유라리안(eulerian) 경우에 한정하여 선형 시간 알고리즘을 제시한다. 문제 정의는 다음과 같다. 무방향 그래프 G=(V_G,E_G)와 터미널 집합 T={s₁,s₂,s₃,t₁,t₂,t₃}⊆V_G가 주어질 때, 각각 s_i와 t_i를 연결하는 세 개의 서로 간선‑불연속 경로 P_i(i=1,2,3)를 찾는 것이 목표이다. 일반적인 경우는 Robertson‑Seymour의 그래프 마이너 기법을 통해 O(m³) 시간에 해결 가능하지만, k가 입력에 포함될 경우 NP‑complete임이 알려져 있다. 유라리안 가정은 G와 H의 모든 정점 차수가 짝수라는 의미이며, 이때 Schrijver가 제시한 “컷 조건”이 충분조건이자 필요조건이 된다. 즉, 모든 정점 부분집합 U⊆V_G에 대해 |δ_H(U)| ≤ |δ_G(U)|이면 경로 집합이 존재한다. 이 조건은 O(m) 시간에 검증 가능하므로, 존재 여부 판단 자체는 이미 선형 시간에 해결된다. 논문은 존재 판단을 넘어 실제 경로를 구성하는 알고리즘을 설계한다. 핵심 아이디어는 다음과 같다. 1. **서명 기반 검증** 터미널 집합 T의 서명 U*⊆T를 고정하고, 가상 소스 s*와 싱크 t*를 추가한 보조 그래프 G(U*)를 만든다. G(U*)에서 s*‑t* 사이의 최대 간선‑불연속 경로 수 ν(U*)를 Ford‑Fulkerson 방식으로 최대 3번 증강한다. 서명은 2⁶=64가지가 존재하지만, 대칭성을 이용해 실제로는 O(1)개의 경우만 검사하면 된다. 각 서명마다 O(m) 시간에 ν(U*)≥|δ_H(U*)|를 확인하면 전체 존재 판정이 O(m) 시간에 완료된다. 2. **로컬 무브와 임계 인스턴스 탐색** 존재가 확인되면 임의의 s₁‑t₁ 경로 P₁를 찾고, 그 위의 각 간선을 따라 “로컬 무브”를 수행한다. 로컬 무브는 현재 경로의 한 끝점을 인접 정점으로 옮기면서 그래프와 요구 그래프를 동시에 업데이트하는 연산이다. P₁를 따라 이동하면서 (G_i, H_i)라는 일련의 인스턴스를 만들고, 가장 마지막에 아직도 feasible한 인스턴스 (G_j, H_j)를 찾는다. 이 과정은 역방향 탐색으로 O(m) 시간에 수행된다. 3. **동적 흐름 자료구조** (G_j, H_j)에서 “임계(cut) 집합” U를 찾아야 한다. Lemma 7에 따르면, 임계 인스턴스는 정확히 두 개의 터미널을 포함하고, 그 두 터미널을 구분하는 최소 컷이 두 개의 간선만을 차단한다. 이를 찾기 위해 동적 흐름 자료구조를 설계한다. 자료구조는 현재 그래프 Γ와 정수 r(=|δ_H(U*)|)에 대해 (1) 현재 최대 s‑t 경로 수 c를 구하고 min(r,c) 반환, (2) 특정 간선 sv를 삭제하고 sv'와 v'v를 삽입하는 “Move” 연산을 지원한다. 초기에는 최대 r번까지 증강을 수행해 balanced arc set F와 그에 대응하는 잔여 그래프를 만든다. 이후 Move 연산이 발생하면 F를 적절히 수정하고, 잔여 그래프에서 t를 루트로 하는 최대 트리 T를 유지한다. 새로운 s‑t 경로가 생기면 즉시 증강하고, 이런 “브레이크스루”는 최대 r번만 일어나므로 전체 복잡도는 O(r·m)=O(m)이다. 4. **임계 컷 U의 활용** 임계 집합 U가 확보되면, G