첫 번째 차수 여행 시간 추정의 타당성 증명

본 논문은 Dahlen, Hung, Nolet(2000)이 제시한 교차상관 기반 여행시간 지연 추정식이 실제로 1차 근사임을 수학적으로 증명한다. 먼저 원 논문의 핵심 식을 재정리한다. 관측 신호 s_obs(t) 는 합성 신호 s(t)와 작은 변동 δs(t) 의 합으로 표현되고, 교차상관 Γ(τ)=∫_{t₁}^{t₂}s(t‑τ)s_obs(t)dt 는 자동상관 γ(τ)와 교차상관 δγ(τ) 로 분리된다. γ(τ)는 τ=0에서 최대값을 갖으며, 목표는 Γ(τ)의 최대점, 즉 지연 δτ 를 구하는 것이다. Dahlen 등은 Γ(τ)를 τ=0을 중심으로 2차 테일러 전개한 뒤, δγ 의 2차 항 ½∂²_τδγ(0)τ² 를 생략하고 δτ≈‑∂_τδγ(0)/∂²_τγ(0) 이라는 식을 얻었다. 저자는 이 생략이 수학적으로 정당한지 의문을 제기하고, 완전한 전개 Γ(τ)=γ(0)+γ′(0)τ+½γ″(0)τ²+δγ(0)+δγ′(0)τ+½δγ″(0)τ²+… 를 제시한다. 여기서 γ′(0)=0이므로 정확한 임계점은 δτ≈‑δγ′(0)/(γ″(0)+δγ″(0)) 가 된다. 다음으로, 작은 변동이 임계점 위치에 미치는 영향을 보여주는 구체적인 예시를 제시한다. 함수 f(t)=1+at²/(1+t²) 는 t=0에서 유일한 최대값을 갖지만, ε 규모의 변동 g(t)=ε/(1+(t‑b)²) 를 더하면 새로운 함수 h(t)=f(t)+g(t) 는 임계점이 b/2 이상으로 이동한다. 이는 변동이 작아도 임계점이 크게 변할 수 있음을 경고한다. 그 후, 뉴턴 방법을 이용해 1차 근사의 정확성을 분석한다. 함수 F(τ)=∂_τ