가변 감쇠 항을 가진 2+1 차원 버거 방정식의 대칭 분석

본 연구는 2+1 차원 버거 방정식에 시간에 따라 변하는 감쇠 항 α(t) 를 추가한 형태 u_t + u u_x + α(t) u = u_{xx} + u_{yy}  (1.2) 에 대한 Lie 대칭 분석을 수행한다. 먼저, 일반적인 무한소 변환 x_i → x_i + ε ξ_i(x,y,t,u) (i=1…4) 을 도입하고, 4차 prolongation pr⁽⁴⁾V 가 방정식 Ω=0 을 보존하도록 하는 12개의 결정 방정식을 전개한다. 이를 풀어 얻은 일반 해는 ξ = q₂ x + c₂ + c₁ Z e^{−∫α dt}, η = q₂ y + p, τ = q t + r, φ = −q₂ u + c₁ e^{−∫α dt} 이며, 추가 제약 (q t + r) α_t = 0 을 만족한다. 이 제약에 따라 두 경우로 나뉜다. **1. α(t)=α₀ (상수)인 경우** 대칭 대수 L_c 는 네 개의 기저 벡터로 구성된다. - V₁ = −e^{−α₀ t} ∂_x + e^{−α₀ t} ∂_u - V₂ = ∂_t - V₃ = ∂_y - V₄ = ∂_x V₁은 x‑축과 u‑축에 대한 지수적 스케일 변환을, V₂는 시간 이동, V₃와 V₄는 각각 y‑와 x‑이동을 나타낸다. 교환 관계는 V₁과 V₂ 사이에만 비자명한 상수 α₀ 가 나타나며, 나머지는 전부 교환한다. 중심 Z={V₃,V₄} 와 반단순 부분대수 L₂={V₁,V₂} 로 분해한다. Killing form K(x,x) = (x₂)² 을 이용해 L₂를 양의·영 두 동형류로 구분하고, 이를 기반으로 일차·이차·삼차 부분대수를 동형동치에 따라 체계적으로 열거한다. 자동동형군 Int L₂는 두 매개변수 a, b 에 의존하는 2×2 행렬 A =