오메가‑자동 그래프에서 라므시 정리의 새로운 경계

본 논문은 “오메가‑자동(ω‑automatic) 그래프와 초그래프에서 라므시 정리의 적용 가능성을 탐구한다”는 주제로 전개된다. 서론에서는 전통적인 라므시 정리(모든 무한 그래프는 무한 클리크 혹은 안티클리크를 포함한다)와 자동 그래프(노드와 간선이 정규 언어로 표현되는 경우) 사이의 차이를 소개한다. 자동 그래프에서는 모든 무한 그래프가 정규 클리크 혹은 정규 안티클리크를 갖는 것이 알려져 있으나, 일반적인 무한 그래프에서는 클리크가 비재귀적일 수 있다. 이러한 배경에서 저자는 ω‑자동 구조를 고려한다. ω‑자동 구조는 노드 집합을 정규 ω‑언어 L로 코딩하고, 동등 관계와 간선 관계를 동기식 2‑테이프 부치 자동기로 판별한다. **1. 기본 개념 정리** - ω‑언어, Bϋchi 자동기, 정규 ω‑언어, 문맥 자유 ω‑언어, co‑ω‑erCF, Λ 등 언어 이론적 분류를 정의한다. - (k,ℓ)‑분할의 개념을 도입하고, ω‑자동 (k,ℓ)‑분할의 형식적 정의와 ‘injective ω‑automatic presentation’ 개념을 설명한다. - 카디널리티 표기 κ → (λ)^k_ℓ 를 사용해 라므시 정리와 그 일반화를 서술한다. **2. 카운트블 동질 집합** Theorem 2.1을 통해 (ℵ₀, ωA) → (ℵ₀, ωREG)와 (2^{ℵ₀}, ωiA) → (ℵ₀, ωREG)를 증명한다. 핵심 아이디어는 ω‑자동 프레젠테이션 (L, h)에서 정규 부분언어 L′ ⊆ L을 추출하고, 이를 자동(유한) 프레젠테이션으로 변환한 뒤 Rub08의 정규 클리크 존재 정리를 적용하는 것이다. 반대로, (2^{ℵ₀}, ωA) → (ℵ₀, LANG*)가 성립하지 않음을 보이기 위해, ‘ultimately equal(∼_e)’ 관계를 이용한 반례를 구성한다. 이 반례는 L = {0,1}^ω, V = L/∼_e 로 정의하고, 모든 k‑원소 집합을 하나의 색(E₁)으로 지정한다. 이 경우 어떤 LANG* 형태의 H ⊆ L도 무한 동질 집합을 만들 수 없으며, 따라서 정규·CF·LANG* 수준에서는 충분하지 않다. **3. 연속체 크기의 동질 집합** 주요 결과인 Theorem 3.1은 모든 ℓ ≥ 2에 대해 (2^{ℵ₀}, ωA) → (2^{ℵ₀}, co‑ωerCF ∩ Λ)^{2ℓ} 를 성립시킨다. 증명은 두 단계로 나뉜다. - 먼저 언어 N을 정의한다. N은 1로 시작하고, 각 구간