이산 로그를 360도 회전으로 풀다

본 논문은 2009년에 발표된 “Computing a Discrete Logarithm in O(n³)”라는 제목의 연구로, 정수 모듈러 p의 순환군 Zₚ에서 이산 로그 문제를 해결하기 위한 새로운 알고리즘을 제시한다. 저자는 이산 로그를 “두 개의 주기함수의 동시 영점 찾기” 문제로 환원하고, 이를 360° 원호에 투사함으로써 실수 영역에서 연산을 수행한다는 아이디어를 제시한다. 구체적으로, p를 360으로 나눈 비율 360/p를 각도 단위로 정의하고, 군 원소 x와 y를 각각 x·(360/p), y·(360/p)라는 실수 각도로 변환한다. 이후 x의 거듭제곱을 반복적으로 더하는 방식으로 k를 찾으며, 각 단계마다 360°를 초과하면 360을 빼는 모듈러 연산을 수행한다. 논문은 이 과정을 세 개의 중첩 루프(외부 for, 내부 for, while)로 구현하고, 최악의 경우 시간 복잡도가 O(n³)라고 주장한다. 여기서 n은 군의 원소 수, 즉 p와 동일하다고 가정한다. 저자는 이 알고리즘이 덧셈·뺄셈만을 사용하므로 기존의 곱셈 기반 알고리즘보다 효율적이라고 주장하고, 실수 기반 구현에서는 부동소수점 오차를 작은 허용값으로 조정하면 정확한 결과를 얻을 수 있다고 설명한다. 하지만 논문의 핵심 아이디어와 구현에는 여러 문제점이 존재한다. 첫째, 360° 원호에의 매핑은 군 동형사상이 아니며, 곱셈 연산을 각도 덧셈으로 바꾸는 과정에서 군 구조가 보존되지 않는다. 이는 이산 로그의 정의와 직접적인 연관성을 상실하게 만든다. 둘째, 제시된 알고리즘은 사실상 x를 k번 더하는 방식으로, 각 반복마다 O(k) 연산을 수행한다. 외부 루프가 p번, 내부 루프가 x번, while 루프가 추가로 p번 정도 실행되므로 전체 복잡도는 O(p²) 혹은 O(p³) 수준이며, 논문이 주장하는 O(n³)와는 차이가 있다. 특히 기존의 폴라드-홀러, 베이비‑스텝‑거인‑스텝 등은 O(√p) 혹은 O(p^{1/4})와 같은 서브지수적 복잡도를 제공하는데 비해, 이 논문의 방법은 전통적인 완전 탐색과 동등하거나 더 비효율적이다. 실수 기반 구현에서는 부동소수점 오차가 누적될 위험이 크다. 논문은 허용 오차를 1e‑10으로 설정했지만, p가 커질수록 각도 변환값이 작아지고 오차 비율이 급증한다. 따라서 정확한 k 값을 보장하기 어렵다. 정수 기반 구현 역시 동일한 논리를 따르지만, 여전히 x를 반복적으로 더하는 방식이므로 효율성이 떨어진다. 복잡도 분석에서도 저자는 n을 p와 동일하게 두고 O(n²)·O(n³)이라고 서술하지만, 실제 입력 크기는 비트 길이(log₂p)이며, 이와 같은 다항식 복잡도는 현재 알려진 이산 로그의 난이도와 모순된다. 또한 논문은 기존 알고리즘에 대한 문헌 검토가 거의 없으며, 참고문헌은 일반적인 위키피디아 페이지와 교과서 수준에 머물러 있다. 결론적으로, 이 논문은 새로운 시각을 제시하려 했지만, 수학적 엄밀성, 알고리즘 설계, 복잡도 증명 모두에서 근본적인 오류가 있다. 제안된 방법은 실용적인 이산 로그 해결책이 아니며, 현재 암호학에서 요구되는 다항식 시간 알고리즘을 제공하지 못한다.