이상수 체와 레귤레이터 계산을 위한 L일삼분의 일 알고리즘

본 논문은 이상수 체(ideal class group)와 레귤레이터, 그리고 기본 단위 체계를 효율적으로 계산하는 새로운 알고리즘을 제시한다. 기존에 Buchmann이 제시한 L(1/2, O(1)) 복잡도는 차수를 고정하고 판별식 Δ만 무한대로 갈 때 적용 가능했으며, 차수가 커지면 복잡도가 급격히 증가한다는 한계가 있었다. 저자는 Enge와 Gaudry가 곡선 위 이산 로그 문제에 적용한 L(1/3) 알고리즘을 수체에 그대로 옮겨, 차수 n과 판별식 Δ가 동시에 커지는 경우에도 서브지수적 복잡도 L(1/3, O(1)) 를 달성한다. 1. **문제 설정 및 가정** K = ℚ(θ) 라는 수체를 다항식 T(X)=tₙXⁿ+…+t₀ 로 정의하고, 차수 n 과 계수 비트 크기 d 가 n ≤ n₀·log|Δ|^{α}, d ≤ d₀·log|Δ|^{1‑α} (α∈{1/3, 2/3}) 를 만족하도록 제한한다. 이는 차수와 판별식이 서로 일정 비율을 유지하며 성장한다는 의미이며, 곡선의 차수와 차수 사이 비율을 조정한 Enge‑Gaudry 기법과 직접적인 대응 관계가 있다. 2. **관계 수집 단계** φ = A(θ) 형태의 원소를 무작위로 선택한다. 여기서 A(X)∈ℤ