측정 가능한 색채수에 대한 새로운 하한과 Lovász 세타 함수의 일반화

본 논문은 그래프 색채 이론에서 중요한 개념인 색채수 \(\chi(G)\)와 그 변형인 측정 가능한 색채수 \(\chi_m(G)\)에 대한 새로운 하한을 제시한다. 기존에 Lovász가 제시한 세타 함수 \(\vartheta(G)\)는 유한 그래프에 대해 반정수계획(SDP)으로 정의되며, 안정수 \(\alpha(G)\)의 상한을 제공한다. 저자들은 이 세타 함수를 무한 그래프, 특히 컴팩트 메트릭 공간 위에 정의된 거리 그래프 \(G(V,D)\)에 일반화한다. 1. **기본 정의와 프레임워크** - 정점 집합 \(V\)는 컴팩트 메트릭 공간이며, 거리 집합 \(D\subset\mathbb R\)에 따라 인접 관계를 정의한다. - 측정 가능한 안정수 \(\alpha(G)\)와 측정 가능한 분수 색채수 \(\chi^*_m(G)\)를 정의하고, \(\alpha(G)\chi^*_m(G)\ge\mu(V)\)라는 기본 부등식을 증명한다. 이는 \(\alpha(G)\)에 대한 상한이 \(\chi^*_m(G)\)에 대한 하한으로 전환될 수 있음을 의미한다. 2. **Lovász 세타 함수의 일반화** - 연속적인 힐베르트‑슈미트 커널 \(K\in C(V\times V)\)를 변수로 하는 무한 SDP 형태의 세타 함수를 정의한다: \