근사 교란 직접 호모토피 축소법

본 논문은 비선형 편미분 방정식의 교란 해석에 대한 새로운 접근법을 제시한다. 기존의 대칭 축소법이나 다항식 근사법은 보통 작은 교란 파라미터에만 적용 가능했으며, 강한 교란 상황에서는 수렴성 문제가 발생한다. 이를 극복하고자 저자는 Clarkson‑Kruskal(CK) 직접 대칭 축소법과 동차 분석법(Homotopy Analysis Method, HAM)을 결합한 Approximate Perturbed Direct Homotopy Reduction Approach(AHDRA)를 고안한다. AHDRA의 핵심은 원래의 비선형 방정식에 동차 매개변수 \(q\)를 도입해 두 방정식 사이의 연속적인 변형을 만든 뒤, \(q\)를 교란 전개 파라미터로 삼아 무한 급수 전개를 수행하는 것이다. 구체적으로, 변형된 mKdV 방정식 \(u_t+6a u^2 u_x+u_{xxx}= \epsilon (u_{xxx}\pm 1)\) 에 대해 \((1-q)(u_t+6a u^2 u_x+u_{xxx})-q(u_t+6a u^2 u_x+u_{xxx}-\epsilon u_{xxx}\pm \epsilon)=0\) 을 정의한다. \(q=0\)이면 완전 적분 가능한 mKdV 방정식, \(q=1\)이면 원래 교란 방정식이 된다. 전개식 \(u=\sum_{j=0}^\infty q^j u_j\)를 대입하고 각 차수의 \(q\)에 대한 계수를 0으로 두면, 0차에서는 전통적인 mKdV 방정식, 1차 이상에서는 교란 항이 포함된 연쇄 방정식이 도출된다. 각 차수 방정식은 \(u_{j,t}+6a\sum_{k=0}^j u_k u_{j-k,x}+u_{j,xxx}-\epsilon u_{j-1,xxx}\pm \epsilon\delta_{j,1}=0\) 와 같은 형태를 갖는다. 다음 단계에서는 각 차수 해를 유사축소 형태 \(u_j=\alpha_j(x,t)+\beta_j(x,t)P_j(z(x,t))\) 로 가정한다. 여기서 \(P_j\)는 아직 미정인 함수이며, \(\alpha_j,\beta_j,z\)는 자유도가 있다. 저자는 세 가지 자유도(α, β, z)의 선택 규칙을 제시해 불필요한 함수적 의존성을 제거한다. 구체적으로, \(\alpha_j\)에 대한 항을 없애고 \(\beta_j\)를 \(z_x\)와 같은 형태로 고정하며, \(z\)는 선형 결합 \(z=\theta(t)x+\sigma(t)\)로 설정한다. 0차 방정식에 이 형태를 대입하면 \(\alpha_0=0,\ \beta_0=z_x,\ \theta_t=A\theta^4,\ -\theta_t\sigma+\theta\sigma_t=B\theta^4\)와 같은 연립 방정식이 얻어진다. 여기서 \(A,B\)는 임의 상수이며, \(\theta(t)\)가 0이 아니면 \(\theta(t)=\bigl