합리적 점 찾기와 유리 SOS 분해

** 본 논문은 두 단계로 구성된 알고리즘 프레임워크를 제시한다. 첫 번째 단계는 볼록 반대수집합 S⊂ℝ^k 의 정의를 담당한다. 입력으로는 정수계수 다항식 집합 𝒫={h₁,…,h_s}와 비양화 공식 Φ가 주어지며, 각 h_i의 차수는 D 이하, 계수 비트 길이는 σ 이하이다. 저자들은 Basu‑et‑al(1996)의 “RealizableSignConditions”와 “SamplingPoints” 절차를 이용해 Φ에 해당하는 반대수집합의 샘플링 포인트를 구한다. 이때 얻어지는 결과는 일차 다항식 G(T)와 그에 대응하는 유리 파라미터화 (G,G₀,…,G_k)이다. G(T)의 차수가 1이면, G(T)=0 의 실근은 유리수이며, 이를 통해 직접적인 유리점 y를 구성한다. 차수가 1이 아닌 경우, “RationalZeroDimSolve” 를 사용해 G의 정수 근을 찾아 차수를 감소시키는 과정을 반복한다. 최종적으로 차수가 1이 되는 순간, y∈ℚ^k 가 S에 속함을 보장한다. 이 전체 과정의 비트 복잡도는 σ·D^{O(k³)} 로, 차수 D와 차원 k에 대한 지수적 의존성을 갖지만, 입력 계수의 비트 길이에 대해서는 다항식 시간이다. 또한, 출력되는 y의 좌표 비트 길이 역시 σ·D^{O(k³)} 로 제한된다. 두 번째 단계는 SOS 판정 문제에 적용된다. 주어진 정수계수 다항식 f∈ℤ