에어리 함수 영점과 확산 시스템의 이완 과정

논문은 먼저 β=2인 Dyson 모델을 소개한다. 이 모델은 N개의 브라운 입자가 서로의 거리의 역수에 비례하는 반발력을 받으며, 입자 간 충돌이 금지된 조건부 브라운 운동으로 해석된다. β=2일 때는 행렬식 형태의 커널을 갖는 determinantal point process임이 알려져 있어, 다중시간 상관함수를 Fredholm 행렬식으로 표현할 수 있다. 다음으로 저자들은 초기 조건을 Airy 함수 Ai(z)의 음의 실수 영점 a₁>a₂>…>a_N (a_i<0) 으로 설정한다. Airy 영점은 실축의 음의 부분에 무한히 존재하고, 그 간격이 점점 작아지는 특성을 가진다. 이러한 초기 배치는 입자들이 모두 음의 영역에 몰려 있다는 강한 구속을 의미한다. 이를 그대로 두면 시간 전개가 비정상적이거나 수렴이 어려울 수 있다. 따라서 각 입자에 시간에 따라 증가하는 드리프트 항을 추가한다. 구체적으로 Y_j(t)=X_j(t)+t²/4+{d₁+∑_{ℓ=1}^N(1/a_ℓ)}t 로 정의하며, 여기서 d₁=Ai′(0)/Ai(0) 은 Airy 함수의 특정 상수이다. 이 드리프트는 포물선형으로 성장해 초기 구속을 서서히 해소하고, 동시에 시스템이 determinantal 구조를 유지하도록 설계되었다. 유한 N에 대해, 저자들은 변형된 과정 𝒴(t) 가 여전히 determinantal point process임을 증명한다. 이를 위해 시간에 의존하는 커널 K_N(t,s;x,y)를 명시적으로 구성하고, 다중시간 상관함수가 det