자동제어를 위한 새로운 수학 체계

논문은 자동제어 분야에서 연속 제어와 이산 제어가 서로 다른 수 체계(실수와 불리언) 위에서 동작함으로써 발생하는 통합의 어려움을 지적한다. 이를 해결하기 위해 저자는 ‘min‑plus 정수’를 도입한다. 여기서 두 정수 x와 y에 대한 연산 ⊕는 min(x, y), ⊗는 x + y 로 정의되며, 이 연산들은 전통적인 덧셈·곱셈과는 다른 대수 구조를 만든다. 이러한 정수 집합 G⁰는 역순 전순서를 가지며, 양의 정수가 더 작은 위치에 놓인다. 그 다음, M⁰라는 가환 모노이드를 선택하고, 외부 스칼라 곱 x λ (λ∈G⁰) 를 정의한다. 외부 곱은 네 가지 공리(항등성 x 0 = x, 분배성 (x + y) λ = x λ + y λ, 결합성 x λ µ = x (λ⊗µ), 스칼라와의 교환성 x λ ⊕ µ = x λ + x µ)를 만족한다. 이 구조는 ‘반모듈(semi‑module)’이라 부르며, 여기서 원소를 ‘mnesor’라 명명한다. 추가로, 각 mnesor에 대해 켤레 연산 ¯x 를 정의하는데, 이는 자가역적이며 외부 곱과의 관계 ¯(x λ) = ¯x λ⁻¹ 를 만족한다. mnesor의 기본 연산인 덧셈은 멱등성을 가지고 있어 x + x = x 이다. 또한 ‘≤’ 관계는 존재하는 λ≥0에 대해 x = y λ 로 표현될 때 정의된다. 이 관계는 반사, 전이, 반대칭을 만족한다. 내부 곱셈은 두 mnesor의 덧셈으로 정의되며, 결합·교환·멱등성을 가진다. 중요한 특수 규칙으로는 (x × y) λ = x λ × y λ 와 x × x λ = x λ 가 있다. 다음 장에서는 mnesor를 퍼지 논리와 연결한다. 두 기본 퍼지 집합 PST(양성)와 NGT(음성)를 도입하고, 외부 스칼라 λ가 클수록 제약이 강해져 ‘덜 양성’ 혹은 ‘덜 음성’으로 해석한다. 덧셈은 제약이 약한 쪽을 선택해 완화시키고, 곱셈은 제약이 강한 쪽을 선택해 강화한다. PST와 NGT는 서로 켤레 관계에 있어 곱셈 시 서로 상쇄되면 0이 된다. 이러한 연산 규칙은 퍼지 제어의 합집합·교집합 연산과 유사하지만, 명시적인 공리 체계에 의해 엄격히 정의된다. 실험 부분에서는 인버터 펜듈럼 시스템을 모델링한다. 펜듈럼은 질량 m, 길이 a, 중력 g, 카트 위치 x, 각도 θ, 각속도 ω 로 구성된다. 목표는 θ와 ω 를 0에 가깝게 유지하면서 카트 가속도 u (즉, ′′x) 를 제어하는 것이다. 전통적인 PID 제어는 u = –10θ – 5ω 로 구현하고, 출력은 ±30 m/s² 로 제한한다. 시뮬레이션 결과는 θ, ω, u 의 시간 변화를 그래프로 제시한다. mnesor 기반 제어는 먼저 실수값 θ와 ω 를 각각 PST·λ 혹은 NGT·λ 로 변환한다. 변환 규칙은 θ·λ 가 클수록 λ 가 작아지는 역관계를 사용한다(예: θ가 크면 제약이 강해져 λ가 작아짐). 변환된 mnesor Ξ와 Ω 를 곱셈으로 결합해 제어 mnesor U = Ξ × Ω 를 만든다. 곱셈은 두 mnesor가 같은 부호이면 더 강한 제약을 가진 쪽을 선택하고, 부호가 다르면 0을 반환한다. 마지막으로 U 를 다시 실수값 u 로 역변환한다(예: U = PST·λ → u > 0, NGT·λ → u < 0). 결과 그래프는 PID와 거의 동일한 안정화 성능을 보이며, 제어 신호가 부호가 다를 때 자동으로 0이 되는 자연스러운 ‘중립’ 동작을 확인한다. 결론에서는 mnesor 제어가 퍼지 제어와 유사한 직관성을 제공하면서도 완전한 공리 기반이라 이론적 엄밀성이 높다고 주장한다. 또한 실수↔mnesor 변환(퍼지화)과 역변환(디퍼지화)이 간단해 구현 비용이 낮으며, 연속·이산 제어를 하나의 연산 체계로 통합할 수 있음을 강조한다. 향후 연구로는 더 복잡한 하이브리드 시스템에 대한 적용과 최적 스칼라 선택 방법론 개발을 제시한다.