위블 분포 파라미터 최대우도 추정의 경계 미분법

본 논문은 Weibull 분포의 두 파라미터(k, λ)를 최대우도법(MLE)으로 추정할 때 발생하는 비선형 방정식의 해를 효율적으로 구하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 먼저 Weibull 확률밀도함수 f(x;k,λ) 를 이용해 로그우도 L을 정의하고, 편미분을 통해 k와 λ에 대한 연립식(3)·(4)를 얻는다. λ를 제거하면 k만을 포함하는 식 F(k)=0 이 도출되며, 이를 “기본 추정 함수”라 부른다. 1. **전역 단조성 증명** F(k)의 도함수 ∂F/∂k 를 전개하면 n개의 관측값 x_i에 대한 합 형태인 P₁(x_i,n,k) 가 등장한다. 저자는 P₁≥0 를 수학적 귀납법으로 증명함으로써 ∂F/∂k>0, 즉 F(k)가 전역적으로 증가함을 보인다. 이는 해가 존재하고 유일함을 보장한다는 핵심적인 결과다. 2. **스케일‑프리 도함수 경계** F(k)의 1차 도함수 H(n,x_i,k) 가 스케일‑프리 성질을 갖는다(즉, 모든 양의 λ에 대해 H(n,λx_i,k)=H(n,x_i,k)). 이를 이용해 H의 최댓값을 ln2·(x_max/x_min), 최솟값을 0 으로 제한한다. 따라서 ∂F/∂k∈