일반화 푸리에 변환과 솔리톤 방정식 교란 이론

본 논문은 솔리톤 방정식의 교란 이론을 체계적으로 정립하기 위해 ‘일반화 푸리에 변환(Generalised Fourier Transform, GFT)’이라는 새로운 수학적 도구를 제시한다. 서론에서는 역산란 변환(IST)이 적분가능 비선형 파동 방정식의 해를 스펙트럼 데이터(반사계수와 고유값)로 매핑하는 강력한 방법임을 재확인하고, 이러한 스펙트럼 데이터가 실제로는 해당 라플라시안 연산자의 제곱 해(squared solutions)라는 완전 기저 위에서 전개된다는 점을 강조한다. 제곱 해는 연속 스펙트럼에 대한 일반화된 조화함수와 이산 스펙트럼에 대한 솔리톤 모드가 동시에 포함된 함수 집합으로, 이들의 완전성 정리는 GFT의 기반이 된다. 제 2 장에서는 GFT의 정의와 수학적 구조를 상세히 전개한다. 먼저 라그랑지안 시스템의 Lax 쌍을 도입하고, Lax 연산자 L의 고유함수 ψ와 그 복소켤레 ψ*를 이용해 제곱 해 φ_j = ψ_j ψ*_j 형태의 기저 함수를 만든다. 이 기저는 직교성을 갖지는 않지만 완전성을 만족한다는 증명을 제공한다. 그런 다음, 임의의 함수 f(x,t)를 φ_j에 대한 무한 급수로 전개하고, 전개 계수는 바로 스캐터링 데이터와 동일함을 보인다. 이는 전통적인 푸리에 변환이 e^{ikx} 기저에 대한 전개와 완전히 유사하지만, 비선형 Lax 연산자에 맞춰 일반화된 형태라는 점에서 차별화된다. 제 3 장에서는 교란 이론을 전개한다. 기본 적분가능 방정식 u_t = K