비례‑에지 근접 그래프를 이용한 이중 공간 패턴 검정과 상대 엣지 밀도

이 논문은 공간 통계에서 데이터‑랜덤 그래프를 활용한 새로운 검정 방법을 제시한다. 먼저, 두 클래스(또는 특성)로 구분된 점 집합을 입력으로, 각 점에 대해 파라미터 r에 의존하는 비례‑에지 근접 영역 N_Y 를 정의한다. 이 영역은 점 i가 점 j를 “포착”하는 조건을 제공하며, 포착 관계는 방향성을 갖는 호(A_{ij}) 로 표현된다. 다이그래프 D=(V,A) 를 구성한 뒤, 두 종류의 기저 그래프를 만든다. AND‑기저 그래프 G_and(D)는 양쪽 호가 모두 존재할 때만 무방향 엣지를 두어, 두 점이 서로를 동시에 포착할 때만 연결한다. 반면 OR‑기저 그래프 G_or(D)는 어느 한쪽이라도 포착하면 엣지를 두어, 비대칭 포착도 연결에 포함한다. 이러한 차이는 분리와 결합 패턴을 구분하는 데 핵심적인 역할을 한다. 각 그래프의 상대 엣지 밀도 ρ_and, ρ_or 를 정의하고, 이를 U‑통계량 형태로 전개한다. U‑통계량의 핵심은 커널 함수 h_* (i,j) 로, AND‑버전은 I(A_{ij}∧A_{ji}), OR‑버전은 I(A_{ij}∨A_{ji}) 로 정의된다. 이 커널은 대칭이며, 0과 1 사이의 값을 갖는다. U‑통계량의 기대값은 μ_* (N) 로, 이는 근접 영역과 그 역영역의 교집합(AND) 혹은 합집합(OR) 안에 다른 점이 들어갈 확률이다. 분산과 공분산은 2점·3점 결합 확률을 이용해 정확히 계산된다. 이러한 계산을 통해, n이 충분히 클 때 ρ_* 는 평균 μ_* 주위에 정규분포적으로 집중한다는 점근적 정규성을 증명한다. 다음으로, 검정의 귀무가설을 완전 무작위성(CSR)으로 설정하고, 두 대립가설을 정의한다. 분리 대안은 동일 클래스 점들이 서로 가깝게 모여서 AND‑엣지가 많이 생성되는 상황이며, 결합 대안은 이종 클래스 점들이 서로 가깝게 배치되어 OR‑엣지가 많이 생성되는 상황이다. 각각의 대안에 대해 μ_* 와 σ_* 를 재계산하고, Pitman 효율을 구해 r 파라미터의 최적값을 찾는다. 결과는 AND‑그래프가 분리 대안에서 높은 효율을 보이며, OR‑그래프가 결합 대안에서 높은 효율을 보인다는 것이다. 이론적 결과를 검증하기 위해, 다양한 표본 크기와 r 값에 대해 10⁴ 회의 몬테카를로 시뮬레이션을 수행했다. 검정력 곡선은 이론적 정규 근사와 일치했으며, 최적 r 에서는 두 그래프 모두 0.8 이상의 검정력을 달성했다. 특히, AND‑그래프는 분리 상황에서, OR‑그래프는 결합 상황에서 각각 우수한 성능을 보였다. 또한, 논문은 다중 삼각형(다중 셀) 영역으로 구성된 복합 영역과 고차원( d≥2 ) 공간으로의 확장을 논의한다. 근접 영역을 일반적인 다면체로 정의하면, 동일한 U‑통계량 구조와 점근적 정규성을 유지할 수 있다. 따라서 제안된 방법은 2차원에 국한되지 않고, 고차원 데이터에도 적용 가능하다. 마지막으로, 논문은 기존의 상대 호 밀도와 지배수(dominating number) 기반 검정과 비교하여, 상대 엣지 밀도 기반 검정이 계산적으로 더 간단하고, 효율성 면에서도 우수함을 강조한다. 특히, AND‑와 OR‑두 버전을 동시에 활용함으로써, 분리와 결합 두 종류의 공간 상호작용을 모두 효과적으로 탐지할 수 있다.