영행렬식으로 영구수 근사하기: 비가환 대수의 한계와 가능성
영구수 근사를 위한 비가환 대수 기반 행렬식 추정법을 연구한다. 일반 행렬식 사용 시 두 번째 모멘트와 제곱 평균의 비율이 (1+O(1/d))^n 으로 제한되지만, 대칭 행렬식(Barvinok)에서는 d 가 충분히 클 때 분산이 작아진다. 그러나 d 가 상수인 경우 비대칭 행렬식의 비율이 2^n / n^{O(d)} 를 초과해 다항시간 근사 스킴을 제공하지 못한다는 결론에 도달한다.
저자: Cristopher Moore, Alex, er Russell
논문은 영구수(permanent) 근사의 대안으로 비가환 대수(algebra) 위에 무작위 원소를 대입한 뒤 행렬식(determinant)을 이용하는 방법을 체계적으로 검토한다. 먼저 영구수와 행렬식 사이의 관계를 정리하고, Jerrum‑Sinclair‑Vigoda의 마르코프 체인 방식이 현재 가장 효율적인 무작위 근사법임을 언급한다. 이어서 대수적 접근법의 기본 아이디어를 소개한다. 입력 {0,1} 행렬 A의 각 1을 비가환 대수 A의 무작위 원소 X_{ij} 로 교체하고, 얻어진 행렬 M에 대해 det(M) 혹은 det_sym(M)를 계산한다. 이때 기대값 E
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