선형 완전정규 코드와 반경 1: 구조와 전이성 완전 분류
반경 ρ=1인 완전정규 선형 코드는 최소거리 d가 1, 2, 3 중 하나이며, d=3인 경우는 완전(퍼펙트) 해밍 코드로 알려져 있다. 본 논문은 아직 정리되지 않은 d=1, 2 경우를 조사해, d=1이면 좌표 하나를 고정한 차원 n‑1의 서브스페이스, d=2이면 전체 좌표의 합이 0인 패리티‑체크 코드(짝수 가중치 코드)임을 보인다. 또한 이들 모두가 완전 전이성(complete transitivity)을 만족함을 증명한다.
저자: J. Borges J. Rifa V. Zinoviev
본 논문은 Hamming 그래프 \(H_q(n)\) 상에서 반경 \(\rho=1\)인 완전정규(Completely regular) 선형 코드를 전면적으로 조사한다. 완전정규 코드는 거리 구분에 따라 그래프를 균등하게 파티셔닝하는 특성을 가지며, 반경 \(\rho\)는 모든 외부 벡터가 코드와의 최소 거리 ≤ \(\rho\)임을 의미한다. 일반적인 불등식 \(d\le 2\rho+1\) 에 의해 \(\rho=1\)이면 최소거리 \(d\)는 1, 2, 3 중 하나가 된다.
**1. 배경 및 기존 연구**
\(d=3\)인 경우는 퍼펙트 해밍 코드가 전부이며, 파라미터는
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