변화 탐지와 식별을 동시에: 확률분포 전이의 최적 순차 전략

본 논문은 독립이고 동일하게 분포된(i.i.d.) 관측열 \(X_{1},X_{2},\dots\) 에서 확률분포가 갑작스럽게 변하는 상황을 모델링한다. 초기 분포는 알려진 \(P_{0}\)이며, 변이 시점 \(\theta\) 이후에는 \(M\)개의 가능한 대안 분포 \(P_{1},\dots,P_{M}\) 중 하나인 \(P_{\mu}\) 로 전이한다. 변이 시점 \(\theta\)와 전이된 분포 인덱스 \(\mu\)는 모두 관측되지 않으며, 베이즈 사전으로 \(\theta\)는 ‘zero‑modified geometric’ 분포(파라미터 \(p_{0},p\))를, \(\mu\)는 확률벡터 \(\nu=(\nu_{1},\dots,\nu_{M})\)에 따라 선택된다. 목표는 두 가지를 동시에 달성하는 순차 의사결정 전략을 찾는 것이다. 첫째, 변이 시점을 가능한 빨리 탐지하고, 둘째, 변이 후의 정확한 분포를 식별한다. 이를 위해 전략 \(\delta=(\tau,d)\) 를 정의한다. \(\tau\)는 정지 시점(알람 시점)이며, \(d\)는 \(\tau\) 시점에 선택되는 분포 인덱스이다. 비용 구조는 다음과 같다. 탐지 지연에 대한 비용은 \(c(\tau-\theta)^{+}\) (양의 부분만), 잘못된 알람·식별에 대한 비용은 \(a_{ij}\) (i는 실제 상태, j는 선택된 상태) 로 주어진다. 특히 올바른 식별에 대한 비용은 0이다. 베이즈 위험은 \