트리의 D‑플래너리성 판정 기준

본 논문은 “D‑플래너리 트리”라는 새로운 개념을 도입하고, 그 존재 여부를 판단할 수 있는 명확한 기준을 제시한다. 먼저, 트리 \(T\)의 정점 집합 \(V\)와 말단 정점 집합 \(V_{\text{ter}}\)를 정의하고, 지정된 부분집합 \(V^{*}\)가 \(V_{\text{ter}}\)를 포함하도록 가정한다. \(V^{*}\) 위에 순환 순서 \(C\)가 주어지며, 이는 \(|V^{*}|\ge3\) 일 때만 의미를 가진다. **정의와 기본 설정** - \(D^{2}=\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le1\}\) 는 방향이 지정된 닫힌 원판이다. - \(T\)가 \(D\)-플래너리하다는 것은 연속적인 임베딩 \(\varphi:T\to\mathbb R^{2}\) 가 존재해 \(\varphi(T)\subseteq D^{2}\), \(\varphi(T)\cap\partial D^{2}=\varphi(V^{*})\) 이며, \(|V^{*}|\ge3\) 이면 \(\varphi(C)\) 가 \(\partial D^{2}\) 의 방향에 의해 유도된 순환 순서와 일치한다는 뜻이다. **Lemma 1.1** 임베딩 \(\varphi\) 에 대해 \(\mathbb R^{2}\setminus(\varphi(T)\cup\partial D^{2})\) 는 유한 개의 연결 성분 \(U_{0},U_{1},\dots,U_{m}\) 으로 나뉜다. 여기서 \(U_{0}=\mathbb R^{2}\setminus D^{2}\) 이며, 각 \(U_{i}\) (\(i\ge1\))는 단순 폐곡선 \(L_{i}\)와 \(\varphi\)가 이미지한 경로 \(P(v_{i},v'_{i})\) 에 의해 경계가 형성된 열린 원판이다. 증명은 \(V^{*}\) 의 원소 수에 대한 귀납법을 사용한다. 기본 단계에서는 \(|V^{*}|=2\) 인 경우를 직접 구성하고, 귀납 단계에서는 \(V^{*}\) 의 한 원소를 제거한 부분 트리 \(T'\)에 대해 가정을 적용한 뒤, 남은 경로 \(P(u_{0},u_{s})\) 을 적절히 삽입해 전체 구조를 복원한다. 이 과정에서 Schoenflies 정리를 이용해 \(\varphi(T)\) 와 \(\partial D^{2}\) 를 연속적으로 “잘라내”는 것이 핵심이다. **Corollary 1.1·1.2** - \(L_{i}\) 와 \(\varphi(T)\) 의 교점은 정확히 \(\{\varphi(v_{i}),\varphi(v'_{i})\}\) 이다. - \(\partial D^{2}\) 상에서 두 정점 \(u_{1},u_{2}\in V^{*}\) 를 연결하는 아크 \(L\) 가 \(\varphi(T)\)와 교차하지 않으면, 반드시 어떤 \(U_{k}\) 의 경계 \(\partial U_{k}=L_{k}\cup\varphi(P(v_{k},v'_{k}))\) 와 일치한다. 즉, \(L\) 와 \(P(u_{1},u_{2})\) 는 같은 성분 \(U_{k}\) 의 경계를 형성한다. 이로부터 “인접 정점 쌍”이라는 개념이 정의된다: \(\partial D^{2}\) 상에서 아크 \(L\) 가 \(\varphi(T)\)와 오직 두 정점 \(\varphi(v_{1}),\varphi(v_{2})\) 만을 공유하면 \((v_{1},v_{2})\) 는 인접하다고 한다. Corollary 1.2는 \(|V^{*}|\ge3\) 일 때 이러한 인접 관계와 트리 내 경로 \(P(v_{i},v'_{i})\)  사이에 일대일 대응이 존재함을 보인다. **완전 순환 순서와 관련 이론** 삼항 관계 \(O\subseteq A^{3}\) 가 비대칭, 전이성, 순환성을 만족하면 \(O\) 는 “순환 순서”라 부른다. 집합 \(A\) 가 유한하고 \(|A|\ge3\) 이면 \(O\) 가 “완전”이라 함은 임의의 세 원소에 대해 어느 순열이라도 \(O\) 에 포함되는 순서가 존재한다는 뜻이다. Proposition 1.1은 완전 순환 순서 \(O\) 하에서 각 원소 \(a\) 가 정확히 두 개의 “인접 원소” \(a',a''\) 를 갖는다는 사실을 증명한다. 여기서 인접성은 \(O(a',a,b)\) 또는 \(O(a,a'',b)\) 가 모든 다른 원소 \(b\) 에 대해 성립하는 경우로 정의된다. **Theorem 2.1 (D‑플래너리성 기준)** 본 논문의 핵심 정리는 다음과 같다. - \(V^{*}\) 에 주어진 순환 순서 \(C\) 가 완전 순환 순서여야 한다. - \(C\) 의 인접 정점 쌍 \((v_{i},v_{i+1})\) (인덱스는 원형으로 순환)마다, 트리 \(T\)에 \(v_{i}\)와 \(v_{i+1}\) 를 연결하는 유일한 단순 경로 \(P(v_{i},v_{i+1})\) 가 존재하고, 그 경로 내부에 \(V^{*}\) 의 다른 정점이 포함되지 않아야 한다. - 이러한 경로들이 서로 교차하지 않으며, 각각의 경로는 \(D^{2}\) 의 내부에 완전히 들어갈 수 있어야 한다. 위 조건이 충족되면 Lemma 1.1의 귀납적 분해와 Schoenflies 정리를 이용해 \(\varphi\) 를 명시적으로 구성할 수 있다(각 \(U_{i}\) 를 순환 순서에 맞게 배치하고, 경로 \(P(v_{i},v_{i+1})\) 를 \(\partial D^{2}\) 와 연결한다). 반대로, \(D\)-플래너리 임베딩이 존재한다면 경계 위의 정점 순서는 반드시 원판의 방향에 의해 유도된 순환 순서와 일치하고, 각 인접 쌍 사이에 다른 \(V^{*}\) 가 끼어들지 않는 경로가 존재함을 역으로 확인할 수 있다. **응용 및 의의** 이 결과는 기존의 평면 트리 임베딩 이론을 원판 경계 조건까지 확장한다. 특히 위상수학적 문제—예컨대 원판 위에서 정의된 의사조화 함수의 레벨 집합이 트리 형태를 이루는 경우—에서 트리 구조와 경계 조건을 동시에 만족시키는 설계가 가능함을 보인다. 논문의 방법론은 \(D^{2}\) 의 내부와 경계를 구분하는 “컴플리멘트 컴포넌트” 분석과 순환 순서의 완전성을 결합한 점에서 새롭다.