모든 k에 대한 k균일 입방자 자유 이진 사상 존재

논문은 “입방자 자유(cubefree) 이진 사상”이란 개념을 정의하고, 모든 자연수 k에 대해 길이가 k인 이미지로 정의되는 입방자 자유 사상이 존재함을 증명한다. 서론에서는 단어의 입방자와 겹침을 정의하고, 무한 입방자 자유 단어를 생성하기 위해 보통 균일 사상을 이용한다는 배경을 제시한다. 특히 Thue‑Morse 사상 θ(0→01, 1→10)가 겹침 자유이며 입방자 자유라는 사실을 인용한다. 기존 연구에서는 겹침 자유 이진 사상이 k가 2의 거듭제곱일 때만 존재한다는 제한이 있었지만, 입방자 자유 사상에 대해서는 이러한 제한이 없음을 보이고자 한다. 주요 결과는 Lemma 1, 2, 3을 통해 Thue‑Morse 문자열 t 안에 특정 형태의 서로 다른 부분문자열을 충분히 찾을 수 있음을 보이는 것이다. Lemma 1은 길이 k≥4인 경우 t에 0 y 0와 0 z 1 형태의 두 쌍을 찾는다. 짝수 k는 k=2r, 홀수 k는 k=2r−1로 표현해, 기존에 찾은 길이 r의 문자열에 θ를 적용해 길이를 두 배로 늘리는 방식으로 구성한다. Lemma 2는 01 x 01 및 01 x 10 형태의 문자열을 길이 k≥7에 대해 두 개씩 확보한다. 여기서는 k가 짝수일 때는 θ를, k가 홀수일 때는 θ³(θ를 세 번 적용)와 적절한 조합을 사용한다. 구체적인 작은 k(7~21) 경우는 표로 제시한다. Lemma 3은 “00 x 11” 형태의 입방자 자유 문자열을 길이 k≥9에 대해 두 개 찾는 것을 목표로 한다. k가 9~14인 경우는 직접적인 예시를 표에 제시하고, k≥15에 대해서는 Lemma 2에서 얻은 01 x 10 문자열을 보완(complement)하고 앞뒤에 11과 00을 붙여 원하는 형태를 만든다. 이때 보완된 문자열이 입방자 자유임을 증명하기 위해, 만약 입방자가 존재한다면 0110 θ(x) 100 안에 겹침이 발생해야 함을 보이며 모순을 도출한다. Theorem 4에서는 Lemma 3에서 확보한 두 개의 서로 다른 입방자 자유 문자열 w₀, w₁(형태 00{0,1}^k 11)을 이용해 사상 φ를 정의한다. φ(i)=θ(w_i)에서 앞뒤 010을 제거한 형태이며, 이는 k균일 사상이다. φ가 입방자 자유임을 보이기 위해, φ(i) 010=θ(w_i) 가 입방자 자유이므로 φ(i) 자체도 입방자 자유임을 이용한다. 입방자 xxx가 φ(v) 안에 나타난다면, 그 구조는 반드시 “10101” 패턴을 포함하고, 이 패턴은 φ(i) 사이의 경계에서만 발생한다. 따라서 xxx는 “10101”의 적절한 연장으로서 최소 주기가 5 이상이어야 하고, 이는 φ의 이미지 길이와 배수 관계에 놓인다. 결국 xxx는 φ(i) 내부에 존재할 수 없으며, 모순을 통해 φ가 입방자 자유임을 확정한다. Corollary 5에서는 모든 k에 대한 구체적인 사상 구성을 제시한다. k가 홀수이고 15 이상이면 Theorem 4를 바로 적용한다. k가 3,5,7,11,13인 경우는 표에 제시된 φ₃, φ₅, φ₇, φ₁₁, φ₁₃을 사용한다. k=9는 φ₂₃(θ³)으로 처리한다. k=0은 공백 사상, k=1은 항등 사상으로 trivially 입방자 자유이다. 짝수 k에 대해서는 k=2^a·(2r+1) 형태로 분해하고, (2r+1)-균일 입방자 자유 사상 φ에 θ^a를 합성해 k균일 사상을 만든다. 또한 k가 2^a 형태일 경우 θ^a 자체가 입방자 자유이므로 바로 사용한다. 이렇게 모든 자연수 k에 대해 사상이 존재함을 증명함으로써, 입방자 자유 사상의 존재 범위가 전혀 제한되지 않음을 보여준다. 논문의 의의는 두 가지이다. 첫째, 입방자 자유 사상이 모든 균일 길이에서 존재한다는 사실을 최초로 확립함으로써, 기존의 겹침 자유 사상에 대한 제한과는 다른 새로운 자유성 패턴을 제시한다. 둘째, Thue‑Morse 문자열의 구조와 보완 연산을 활용한 증명 기법은 다른 자유성(예: 4‑거듭제곱 자유, k‑거듭제곱 자유) 사상의 일반화에도 적용될 가능성을 열어준다. 마지막으로, “모든 k에 대한 k균일 입방자 자유 이진 사상 존재?”라는 질문에 완전한 해답을 제공함으로써 조합론적 단어 이론 및 형식 언어 이론에서 중요한 기반을 마련한다.