최소승리연합만으로 파워지수 계산하기
** 본 논문은 투표 게임에서 전통적으로 전체 승리연합을 열거해 구하던 Penrose‑Banzhaf 지수와 Shapley‑Shubik 지수를, 최소승리연합(MWC) 집합만을 이용해 계산하는 새로운 조합론적 공식들을 제시한다. 포함‑배제 원리와 주필터(principal filter)를 활용해 각 유권자의 결정력 점수를 직접 구하는 식을 도출하고, 이를 통해 기존 방법보다 연산량을 크게 절감할 수 있음을 보인다. **
저자: Werner Kirsch, Jessica Langner
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본 논문은 정치학·경제학 분야에서 투표 게임의 파워지수를 측정하는 데 널리 쓰이는 Penrose‑Banzhaf 지수와 Shapley‑Shubik 지수를, 기존의 모든 승리연합을 열거하는 방식이 아닌 최소승리연합(MWC)만을 이용해 계산하는 새로운 조합론적 방법을 제시한다.
1. **배경 및 정의**
- 투표 시스템은 유권자 집합 W와 승리연합 집합 G로 정의되며, G는 단조성(monotonicity)을 만족한다.
- 최소승리연합은 각 구성원이 모두 결정적인 최소한의 승리연합이며, M(G) = {V∈G | V is minimal} 로 표기한다. M(G) 는 P(W)의 반체인 antichain(스펜너 패밀리)이며, 투표 시스템을 완전히 규정한다.
- Penrose‑Banzhaf 점수 BS_w는 w가 결정적인 승리연합의 개수이며, 이를 정규화해 PBPI_w를 얻는다. Shapley‑Shubik 지수 SSI_w는 모든 순열에서 w가 결정적인 위치에 있는 비율을 나타낸다.
2. **기존 계산 방법의 한계**
- 전통적으로는 모든 승리연합 G를 열거하거나, 가중치·쿼터 기반의 계산을 수행한다. 이는 n이 커질수록 2ⁿ개의 연합을 다루어야 하므로 비효율적이다.
3. **새로운 조합론적 접근**
- 저자들은 MWC 집합 {V₁,…,V_m} 를 이용해 각 V_i에 대한 주필터 B_{V_i} = {A⊆W | A⊇V_i} 를 정의한다. 주필터의 크기는 b_{V_i}=2ⁿ‑|V_i| 이다.
- 포함‑배제 원리를 적용해 A₀ʷ = G \ (A₆ʷ ∪ A₁ʷ) 를 구하고, 이를 B_{V_i}와 B'_{V_i} (w를 포함하거나 제외하는 경우) 로 표현한다.
- 결과적으로 Banzhaf 점수는
BS_w = Σ_{r=1}^{m} (‑1)^{r‑1} Σ_{1≤i₁<…
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