총변동을 이용한 모든 f‑다이버전스의 하한 정리

본 논문은 확률측도 μ와 ν 사이의 유사성을 평가하는 도구인 f‑다이버전스와 총변동(Total Variation, TV) 사이의 정량적 관계를 연구한다. 서두에서 총변동을 측도 이론적으로 정의하고, Hahn‑Jordan 분해를 이용해 서명측도 ν의 변동 측도 |ν| 를 도입한다. 특히, 두 확률측도의 차이 μ−ν 가 0이면 총변동은 k μ−ν =|μ−ν|(Ω)=2 sup_{B∈σ}|μ(B)−ν(B)| 로 표현되며, 절대연속성 μ≪ν 일 때는 k μ−ν =∫|dμ/dν−1| dν 로 나타난다. 다음으로 f‑다이버전스 D_f(μ,ν)=∫f(dμ/dν) dν 를 소개한다. 여기서 f는 R_{\ge0} 위의 볼록 함수이며 f(1)=0 을 만족한다. Lemma 2.1 은 f에 선형 보정 a(x−1)을 더한 함수 g(x)=f(x)−a(x−1) 가 비음이며 x=1에서만 0이 되면, D_f(μ,ν)=0 ⇔ μ=ν 임을 보인다. 이는 f‑다이버전스가 확률측도 사이의 거리 역할을 하게 하는 충분조건이다. 논문의 핵심은 Proposition 2.2 로, 임의의 볼록 함수 f에 대해  f(1+½ TV(μ,ν)) + f(1−½ TV(μ,ν)) ≤ D_f(μ,ν) 라는 하한이 성립함을 증명한다. 증명은 f(x)=f(max{x,1})+f(min{x,1}) 라는 분해와 Jensen 부등식 적용을 기본 아이디어로 한다. max와 min을 각각 1 + (x−1)/2 ± |1−x|/2 로 표현하고, 이를 적분하면 φ(TV/2) 형태의 식이 나온다. 여기서 φ(x)=f(1+x)+f(1−x) 로 정의한다. 그 다음 Lemma 2.3 에서는 φ(x) 가