무한 차원 집합과 차원 이론의 새로운 이중성

1. 서론에서는 ℝ^ℕ(히버트 큐브) 위의 가산 차원 집합(CD)과 첫 번째 범주 집합(M) 사이에 존재하는 이중성을 소개한다. 에르되시‑시어핀스키 정리와 Tumarkin 정리를 결합해, 연속체 가설(CH) 하에서 두 σ‑이데얼이 서로 대칭적인 구조를 가진다는 사실을 제시한다. 2. 가산 차원 집합에 대한 배경을 설명한다. Hurewicz는 가산 차원 집합을 “0‑차원 집합들의 가산 합”으로 정의했으며, 히버트 큐브 자체가 가산 차원되지 않음을 증명했다. Smirnov·Nagami의 결과를 이용해 CD의 공동성(cof)은 2^{ℵ₀}, 커버링 수(cov)는 ℵ₁임을 언급한다. 3. 에르되시‑시어핀스키 이중성 정리를 상세히 전개한다. X를 기수 ℵ₁인 집합으로 두고, I=CD, J=M이라 두면, (1)–(4) 조건을 만족한다. 특히, Tumarkin 정리를 이용해 X의 가산 조밀 집합 D가 0‑차원 G_δ 집합 A에 포함되고, 그 여집합 B는 첫 번째 범주가 된다. CH가 (2)와 (3),(4)를 보장한다. 따라서 존재하는 전단사 f가 E∈CD ⇔ f