동차성 상수와 볼록체 복제 커버링의 새로운 동등성

본 논문은 “볼록체 $K$를 자신의 축소된 복사본 $\lambda K$의 일정한 개수 $n$개의 평행 이동으로 덮을 수 있는 최소 정수 $H_d$”와 “그러한 복사본을 동일한 개수 $n$으로 모든 볼록체에 적용할 수 있게 하는 최소 정수 $H_d$” 사이의 관계를 조사한다. 정의 1.1에서 두 개념을 명확히 구분하고, 기존 연구에서 제시된 $H_d\le 2^d$라는 상한과, 특히 정육면체가 이 상한을 달성한다는 사실을 상기한다. 문제 6(Brass–Moser–Pach)에서 제기된 질문은 $H_d=H_d$가 성립하는가이다. 저자는 이를 긍정적으로 답한다. 핵심은 볼록체의 등가 클래스 공간 $\mathcal K_d^a$에 Banach–Mazur 거리 $d_{BM}$를 이용해 위상 구조를 부여하고, 함수 $\lambda(K)$를 정의하는 것이다. $\lambda(K)$는 $K$를 $H_d$개의 $\lambda K$ 평행 이동으로 덮을 수 있는 최소 축소 비율을 나타낸다. 섹션 2에서는 $\lambda(\cdot)$가 상반 연속임을 보인다. 구체적으로, 임의의 $\varepsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재하여 $d_{BM}(L,K)<1+\delta$이면 $\lambda(L)<\lambda(K)+\varepsilon$가 된다. 이는 $K$를 덮는 평행 이동 집합 $\Lambda$와 $\lambda$를 적절히 조정해 증명한다. 다음으로, Macbeath(1951)의 결과에 따라 $\mathcal K_d^a$는 $d_{BM}$ 위에서 콤팩트함을 이용한다. 상반 연속 함수는 콤팩트 집합에서 최대값을 갖기 때문에, $\lambda_{\max}:=\max_{K\in\mathcal K_d^a}\lambda(K)$가 존재한다. 정의에 의해 $\lambda_{\max}<1$이며, 이를 $\lambda_d$라 두면 모든 볼록체 $K$는 $H_d$개의 $\lambda_d K$ 평행 이동으로 덮일 수 있다. 따라서 $H_d=H_d$가 증명된다. 이와 동시에, 강한 형태의 Gohberg–Markus–Boltyanski–Hadwiger 추측(Conjecture 1.3)을 제시한다. 즉, 차원 $d$마다 일정한 $\lambda_d$가 존재해 $2^d$개의 $\lambda_d K$ 평행 이동으로 모든 볼록체를 커버할 수 있다는 주장이다. 위 정리는 이 강한 추측과 원래 추측이 동치임을 보여준다. 섹션 3에서는 정량적 결과를 다룬다. Januszewski와 Lassak(2001)의 결과를 개선하여, $\lambda=1/2$일 때 필요한 평행 이동 수 $N(K,\frac12 K)$가 $O(d\sqrt d\log d)$ 이하임을 보인다. 이는 Rogers(1957)의 커버링 밀도 상한 $\Theta(L)\le d\log d+\log\log d+5d$와 Rogers–Shephard(1957)의 부피 부등식 $ \operatorname{vol}(K-K)\le \binom{2d}{d}\operatorname{vol}(K)$을 이용한 계산이다. 구체적으로, \